6.3数学归纳法VIP免费

问题1:袋中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？问题2:完全归纳法不完全归纳法11,11,2,...1nnnnaaaana对于数列已知，猜想其通项公式111a212a1nan313a…问题情境一111a212a313a解:猜想数列的通项公式为验证:同理得717=a515=a616=a818=a啊,有完没完啊?919=a•••正整数无数个!414=a对于数列｛｝，已知，na11a）（Nnaaannn11（1）求数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正确的吗？怎么证明？)(*Nnnan1能不能找到一种通过有限个步骤证明猜想的方法呢？问题情境二请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。（依据）条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。思考：你认为证明数列的通项公式是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？nan1（1）第一块骨牌倒下；（基础）问题情境二多米诺骨牌已知，证明第一步第一块倒下第二步若第k块倒下时，则相邻的第k+1块倒下结论根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。1nan11=1,=1na时，左边右边，猜想成立()1,1knkkNankk假设时，猜想成立,即则当时，+11111+11kkkakaakk根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。数学建构111,1nnnaaaa类比归纳对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（（11））证明当证明当nn取第一个值取第一个值nn00((例如例如nn00=1=1))时命题成时命题成立立;;（（22））假设当假设当nn==kk((kk∈∈NN**,,kk≥≥nn00))时命题成立时命题成立证明当证明当nn==kk+1+1时命题也成立时命题也成立..（（33））最后由最后由（（11）（）（22））得出结论全体自然数成立得出结论全体自然数成立【命题成立的连续性】【命题成立的必要性】【命题成立的必要性】这种证明方法这种证明方法叫做叫做数学归纳法数学归纳法数学归纳法归纳奠基归纳递推注：两个步骤,缺一不可步骤为：(1)证明当n=1时命题成立(2)证明若当n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立.完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜想对于所有的正整数n都是成立的。相当于第一张牌能倒下相当于使所有骨牌倒下的第2个条件例题.用数学归纳法证明:数学运用22222*(1)(21)1234().6nnnnnN222222(1)[(1)1][2(1)1]1234(1)6kkkkk目标：证明①当n=1时，左边＝1,右边＝1,等式显然成立。例题证明：数学运用归纳奠基归纳递推22222*(1)(21)1234().6nnnnnN22222(1)(21)12346kkkk2222221234(1)kk②假设当n=k时等式成立，即那么,当n=k+1时，有这就是说，当n=k+1时,等式也成立。根据①和②，可知对任何nN*等式都成立。(1)(21)6kkk(1)[(1)1][2(1)1]6kkk2(1)k练习1：用数学归纳法证明2*135(21)().nnnN证明（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．这就是说，当n=k+1时，等式也成立．由（1）和（2），可知等式对任何正整数n都成立．（2）假设当n=k时，等式成立，即2135(21).kk递推基础递推依据135(21)[2(1)1]kk那么当n=k+1时，2135(21)[2(1)1](1)kkk目标：2[(2(1)1]kk2221(1)kkk（1）2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(nN*)证明：假设当n=k时等式成立，即2+4+6+8+…+2k=k2+k+1(kN*)那么，当n=k+1时，有2+4+6+8+…+2k+2（k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1,因此，对于任何nN*等式都成立.缺乏“递推基础”事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！练习2纠错：分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误：这就是说，当n=k+1时,命题也成立.11111(1)()()22312111=2(1)1kkkkk左边...