3.1导数及导数的运算核心考点·精准研析考点一导数的计算1.下列求导运算正确的是()A.(sina)′=cosa(a为常数)B.(sin2x)′=2cos2xC.(cosx)′=sinxD.(x-5)′=-x-62.函数f(x)=x2+lnx+sinx+1的导函数f′(x)=()A.2x++cosx+1B.2x-+cosxC.2x+-cosxD.2x++cosx3.函数f(x)=的导函数f′(x)=()A.tanxB.-C.-D.-4.函数f(x)=的导函数f′(x)=()A.2B.C.D.5.设f′(x)是函数f(x)=+x的导函数,则f′(0)的值为________.【解析】1.选B.(sina)′=0(a为常数),(sin2x)′=2cos2x,(cosx)′=-sinx,(x-5)′=-5x-6.2.选D.由f(x)=x2+lnx+sinx+1得f′(x)=2x++cosx.3.选D.f′(x)==-.4.选D.f′(x)=()′=′=′=.5.因为f(x)=+x,所以f′(x)=+1=+1,所以f′(0)=+1=0.答案:0题2中,若将“f(x)=x2+lnx+sinx+1”改为“f(x)=+”,则f′(x)=________.【解析】因为f(x)=+=,所以f′(x)=′==.答案:【秒杀绝招】排除法解T3,根据sinx=0时f(x)无意义,所以f′(x)也无意义排除A,C,cosx=0时f(x)有意义,所以f′(x)也应有意义排除B.考点二导数的简单应用【典例】1.若函数f(x)=eax+ln(x+1),f′(0)=4,则a=________.2.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且f(x)=2xf′(e)-lnx,则f′(e)=________.3.(2020·宝鸡模拟)二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,若其导函数为f′(x)=3x-,则f(x)=______.【解题导思】序号联想解题1由f′(0)=4,想到求f′(x),列方程2由f′(e)想到求f′(x)并代入x=e3由二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,想到设函数的解析式为f(x)=ax2+bx【解析】1.由f(x)=eax+ln(x+1),得f′(x)=aeax+,因为f′(0)=4,所以f′(0)=a+1=4,所以a=3.答案:32.因为f(x)=2xf′(e)-lnx,所以f′(x)=2f′(e)-,令x=e得:f′(e)=2f′(e)-,即f′(e)=.答案:3.根据题意,二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,设其解析式为f(x)=ax2+bx,则有f′(x)=2ax+b,又由f′(x)=3x-,得2ax+b=3x-,则a=,b=-,故f(x)=x2-x.答案:x2-x含参数的函数的导数要注意的两点(1)含有字母参数的函数求导时,要分清哪是变量哪是参数,参数是常量,其导数为零.(2)注意利用题目条件构建方程,求出参数的值.此时要注意区别函数f(x)及其导数f′(x).1.已知f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=x3+f′x2-x,则f(1)=()A.-2B.2C.-1D.1【解析】选C.由f(x)=x3+f′x2-x,得f′(x)=3x2+2f′x-1,所以f′=+f′-1,所以f′=-1,f(x)=x3-x2-x,所以f(1)=13-12-1=-1.2.函数f(x)=lnx+a的导函数为f′(x),若方程f′(x)=f(x)的根x0小于1,则实数a的取值范围为()A.(1,+∞)B.(0,1)C.(1,)D.(1,)【解析】选A.由函数f(x)=lnx+a可得f′(x)=,由于使得f′(x0)=f(x0)成立的01,lnx0<0,所以a=-lnx0>1,故有a>1.考点三导数几何意义的运用命题精解读考什么:(1)求切线方程、求切点坐标、与切线有关求参数的值或取值范围.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养怎么考:与直线的方程、不等式等结合考查直线的斜率、直线的点斜式方程、导数的几何意义等问题新趋势:以三角函数、指数函数、对数函数为载体,与求导数和导数的几何意义交汇考查.学霸好方1.注意两类切线问题的区别(1)“过”与“在”:曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别:前者P(x0,y0)为切点,而后者P(x0,y0)不一定为切点.(2)“切点”与“公共点”:某曲线的切线与此曲线的公共点有可能有多个(即除了切点之外可能还法有其他公共点).2.利用导数求曲线的切线方程若已知曲线y=f(x)过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程,则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解.(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步:第一步:设出切点坐标P′(x1,f(x1));第二步:写出曲线在点P′(x1,f(x1))处的切线方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1);第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程.已知切点求切线的方程问题【典例】(2019·全国卷Ⅰ)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为____________.【解析】y′=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,所以k=y′|x=0=3,所以曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0.答案:3x-y...
