课时分层作业(十七)基本不等式的证明(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是()A．s≥tB．s>tC．s≤tD．s0，b>0，则下列不等式中错误的是()A．ab≤2B．ab≤C.≥D.≤2D[由基本不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由≥ab得，ab≤2，∴≥2，故选D.]4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是()A．a＞b＞＞B．a＞＞＞bC．a＞＞b＞D．a＞＞＞bB[a＝＞＞＞＝b，因此只有B项正确．]5．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()A.＞B.＋≤1C.≥2D.≤D[由a＋b＝4，得≤＝＝2，故C错；由≤2得ab≤4，∴≥，故A错；B中，＋＝＝≥1，故B错；由≥2得a2＋b2≥2×2＝8，∴≤，D正确．]二、填空题6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．≤[∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，∴≤＝.]7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．x≤[用两种方法求出第三年的产量分别为A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．1∴1＋x＝≤＝1＋，∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．]8．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.36[f(x)＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时f(x)取得最小值4.又由已知x＝3时，f(x)min＝4，∴＝3，即a＝36.]三、解答题9．已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3.[证明]左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1＝＋＋－3.∵a，b，c为正数，∴＋≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；＋≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；＋≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．∴＋＋－3≥3，即＋＋≥3.10．已知a，b，c为正实数，且a＋b＝1.求证：＋≥4.[证明]＋＝＋＝1＋＋＋1＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当a＝b时“＝”成立．[能力提升练]1．下列不等式一定成立的是()A．x＋≥2B.≥C.≥2D．2－3x－≥2B[A项中当x<0时，x＋<0<2，∴A错误．B项中，＝≥，∴B正确．而对于C，＝－，当x＝0时，＝<2，显然选项C不正确．D项中取x＝1,2－3x－<2，∴D错误．]2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤B．ab≥C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3C[∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴ab≤2＝1，又≥2，∴a2＋b2≥2.]3．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________．2[xy≤＝2，当且仅当x＝y时取“＝”．]4．设a，b为非零实数，给出不等式：①≥ab；②≥2；③≥；④＋≥2.其中恒成立的不等式的个数是________．2[由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确；②＝2＝≥＝＝2，故②正确；对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．]5．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋.[证明]∵a＞0，b＞0，c＞0，∴≥，≥，≥，∴＋＋≥＋＋，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c不全相等，∴等号不成立，∴a＋b＋c＞＋＋.3
