考点一向量的数量积1．(2015·山东，4)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝()A．－a2B．－a2C.a2D.a2解析如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°＝a2＋a2－2a·a×＝3a2，∴BD＝a.∴BD·CD＝|BD|·|CD|cos30°＝a2×＝a2.答案D2．(2015·安徽，8)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是()A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥BC解析由于△ABC是边长为2的等边三角形；∴(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，即(AB＋AC)·CB＝0，∴(4a＋b)⊥CB，即(4a＋b)⊥BC，故选D.答案D3．(2015·四川，7)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM＝()A．20B.15C．9D．6解析AM＝AB＋AD，NM＝CM－CN＝－AD＋AB，∴AM·NM＝(4AB＋3AD)·(4AB－3AD)＝(16AB2－9AD2)＝(16×62－9×42)＝9，选C.答案C4．(2015·福建，9)已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP＝＋，则PB·PC的最大值等于()A．13B．15C．19D．21解析建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，AB＝，AC＝(0，t)，AP＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，PB·PC＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，故选A.答案A5．(2014·新课标全国Ⅱ，3)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5解析由向量的数量积运算可知， |a＋b|＝，∴(a＋b)2＝10，∴a2＋b2＋2a·b＝10，①同理a2＋b2－2a·b＝6，②①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1.答案A6．(2014·大纲全国，4)若向量a、b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝()A．2B.C．1D.解析由题意得⇒－2a2＋b2＝0，即－2|a|2＋|b|2＝0，又|a|＝1，∴|b|＝.故选B.答案B7．(2014·北京，10)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.解析 |a|＝1，∴可令a＝(cosθ，sinθ)， λa＋b＝0，∴即由sin2θ＋cos2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝.答案8．(2014·江西，14)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.解析因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3，b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cosα＋1＝8，所以|b|＝2，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，所以cosβ＝＝＝.答案9．(2013·山东，15)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2，若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．解析 AP＝λAB＋AC，AP⊥BC，又BC＝AC－AB，∴(AC－AB)·(AC＋λAB)＝0.∴AC2＋λAB·AC－AB·AC－λAB2＝0，即4＋(λ－1)×3×2×－9λ＝0，即7－12λ＝0，∴λ＝.答案10．(2012·北京，13)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________．解析如图建立直角坐标系，则D(0，0)，A(0，1)，B(1，1)，C(1，0)．设E(x，1)，那么DE＝(x，1)，CB＝(0，1)，∴DE·CB＝1. DC＝(1，0)，∴DE·DC＝x. 正方形的边长为1，∴x的最大值为1，故DE·DC的最大值为1.答案11考点二平面向量的长度与角度问题1．(2015·重庆，6)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D．π解析由题意(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝0，即3|a|2－|a|·|b|cosθ－2|b|2＝0，所以3×－cosθ－2＝0，cosθ＝，θ＝，选A.答案A2．(2015·陕西，7)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2解析对于A，由|a·b|＝||a||b|cos
|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立．故选B.答案B3.(2014·天津，8)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若AE·AF＝1，CE·CF＝－，则λ＋μ＝()A.B.C.D.解析如图所示，以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy，不妨设A(0，－1)，B(－，0)，C(0，1)，D(，0)，由题意得CE＝(1－λ)·...
