立体几何中的向量方法第二课时VIP专享VIP免费

3.2.2立体几何中的向量方法(二)课件新人教版(选修2-1)一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）空间“距离”问题1.空间两点之间的距离根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式或(其中)，可将两点距离问题转化为求向量模长问题2aa222zyxa),,(zyxa例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，设BADADAAAB，116011DAABAA化为向量问题依据向量的加法法则，11AAADABAC进行向量运算2121)(AAADABAC)(2112122AAADAAABADABAAADAB)60cos60cos60(cos21116所以6||1AC回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。1AC6思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD11BBBCBABD6012011BCBABBABC，其中分析:分析:1111DAABAABADxAAADABaAC，，设11AAADABAC则由)(211212221AAADAAABADABAAADABAC)cos3(23222xxa即axcos631∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？设AB=1（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH分析：面面距离点面距离.11HACHAA于点平面点作过解：.1的距离为所求相对两个面之间则HA111AAADABBADADAABA且由.上在ACH3360cos211)(22ACBCABAC.160cos60cos)(1111BCAAABAABCABAAACAA31||||cos111ACAAACAAACA36sin1ACA36sin111ACAAAHA∴所求的距离是。36问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的绝对值.如图A,空间一点P到平面的距离为d,已知平面的一个法向量为n,且AP�与n不共线,能否用AP�与n表示d?分析:过P作PO⊥于O,连结OA.则d=|PO�|=||cos.PAAPO� PO�⊥,,n∴PO�∥n.∴cos∠APO=|cos,PAn�|.∴d=|PA�||cos,PAn�|=|||||cos,|||PAnPAnn��=||||PAnn��.nAPO2、向量法求点到平面的距离：示例:如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.DABCGFExyz分析:用几何法做相当困难,注意到坐标系建立后各点坐标容易得出,又因为求点到平面的距离可以用法向量来计算,而法向量总是可以快速算出.果断地用坐标法处理.DABCGFExyz解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．(2,2,0),(2,4,2),EFEG�设平面EFG的一个法向量为(,,)nxyznEFnEG��，|BE|211.11ndn��2202420xyxyZ11(,,1),33nB(2,0,0)E�答:点B到平面EFG的距离为21111.示例:如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。labcd思考：（1）本题中如果夹角可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？ABCD...