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1SymPy—符号运算库目录从例子开始欧拉恒等式球体体积数学表达式符号数值运算符和函数符号运算表达式变换和化简方程2目录微分微分方程积分其他功能34SymPy是一个符号数学Python库。它的目标是成为一个全功能的计算机代数系统，同时保持代码的精简而易于理解和可扩展。SymPy完全由Python写成，不需要任何外部库。可用SymPy进行数学表达式的符号推导和演算。可使用isympy运行程序，isympy在IPython的基础上添加了数学表达式的直观显示功能。启动时还会自动运行下面的程序：这段程序首先将Python的除法操作符“/”从整数除法改为普通除法。然后从SymPy库载入所有符号，并且定义了四个通用的数学符号x、y、z、t，三个表示整数的符号k、m、n，以及三个表示数学函数的符号f、g、h。5from__future__importdivisionfromsympyimport*x,y,z,t=symbols('x,y,z,t')k,m,n=symbols('k,m,n',integer=True)f,g,h=symbols('f,g,h',cls=Function)#init_printing()从例子开始欧拉恒等式此公式被称为欧拉恒等式，其中e是自然常数，i是虚数单位，是圆周率。此公式被誉为数学中最奇妙的公式，它将5个基本数学常数用加法、乘法和幂运算联系起来。从SymPy库载入的符号中，E表示自然常数，I表示虚数单位，pi表示圆周率，因此上面的公式可以直接如下计算：6>>>E**(I*pi)+1010ie从例子开始SymPy除了可以直接计算公式的值之外，还可以帮助做数学公式的推导和证明。欧拉恒等式可以将代入下面的欧拉公式得到：在SymPy中可以使用expand()将表达式展开，用它展幵试试看：没有成功，只是换了一种写法而已。当expand()的complex参数为True时，表达式将被分为实数和虚数两个部分：7cossinixexixixe>>>expand(E**(I*x))exp(I*x)从例子开始这次将表达式展开了，但是得到的结果相当复杂。显然，expand()将x当做复数了。为了指定x为实数，需要重新定义x:终于得到了需要的公式。可以用泰勒多项式对其进行展开：8>>>expand(exp(I*x),complex=True)I*exp(-im(x))*sin(re(x))+exp(-im(x))*cos(re(x))>>>x=Symbol("x",real=True)>>>expand(exp(I*x),complex=True)Isin(x)+cos(x)从例子开始series()对表达式进行泰勒级数展开。可以看到展开之后虚数项和实数项交替出现。根据欧拉公式，虚数项的和应该等于sin(x)的泰勒展开，而实数项的和应该等于cos(x)的泰勒展开。9>>>tmp=series(exp(I*x),x,0,10)>>>printtmp1+I*x-x**2/2-I*x**3/6+x**4/24+I*x**5/120-x**6/720-I*x**7/5040+x**8/40320+I*x**9/362880+O(x**10)>>>tmp从例子开始下面获得tmp的实部：下面对cos(x)进行泰勒展开，可看到其中各项和上面的结果是一致的。10>>>re(tmp)x**8/40320-x**6/720+x**4/24-x**2/2+re(O(x**10))+1>>>series(cos(x),x,0,10)1-x**2/2+x**4/24-x**6/720+x**8/40320+O(x**10)从例子开始11下面获得tmp的虚部:下面对sin(x)进行泰勒展开，其中各项也和上面的结果一致。由于展开式的实部和虚部分别等于cos(x)和sin(x),因此验证了欧拉公式的正确性。>>>im(tmp)x**9/362880-x**7/5040+x**5/120-x**3/6+x+im(O(x**10))>>>series(sin(x),x,0,10)x-x**3/6+x**5/120-x**7/5040+x**9/362880+O(x**10)ixe从例子开始球体体积Scipy介绍了如何使用数值定积分计算球体的体积，SymPy中的integrate()则可以进行符号积分。用integrate()进行不定积分运算：如果指定变量x的取值范围,integrate()就能进行定积分运算:12>>>integrate(x*sin(x),x)-x*cos(x)+sin(x)>>>integrate(x*sin(x),(x,0,2*pi))-2*pi从例子开始为了计算球体体积，首先看看如何计算圆的面积，假设圆的半径为r，则圆上任意一点的Y坐标函数为：因此可以直接对函数y(x)在-r到r区间上进行定积分得到半圆面积。13>>>x,y,r=symbols('x,y,r')>>>f=2*integrate(sqrt(r*r-x**2),(x,-r,r))>>>printf2*Integral(sqrt(r**2-x**2),(x,-r,r))22()yxrx从例子开始首先需要定义运算中所需的符号，这里用symbols()一次创建多个符号。Integrate()没有计算出积分结果，而是直接返冋了输入的算式。这是因为SymPy不知道r是大于0的，重新定义r，就可以得到正确答...