2012中考数学压轴题及答案40例(8)VIP免费

2012中考数学压轴题及答案40例（8）32.已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．解：（1）由题意知Rt△△AOC∽Rt△COB，∴＝．∴OC2＝OA·OB＝OA(AB－OA)，即22＝OA(5－OA)．∴OA2－5OA＋4＝0， OA＜OB，∴OA＝1，OB＝4．2分∴A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)．∴可设所求抛物线的关系式为y＝a(x＋1)(x－4)．3分将点C(0，2)代入，得2＝a(0＋1)(0－4)，∴a＝－．∴经过点A、B、C的抛物线的关系式为y＝－(x＋1)(x－4)．4分即y＝－x2＋x＋2．1（2）①E1(3，)，E2(，)，E3(，)．7分关于点E的坐标求解过程如下（原题不作要求，本人添加，仅供参考）：设直线BC的解析式为y＝kx＋b．则解得∴直线BC的解析式为y＝－x＋2． 点E在直线BC上，∴E(x，－x＋2)．若ED＝EB，过点E作EH⊥x轴于H，如图2，则DH＝DB＝1．∴OH＝OD＋DH＝2＋1＝3．∴点E的横坐标为3，代入直线BC的解析式，得y＝－×3＋2＝．∴E1(3，)．若DE＝DB，则(x－2)2＋(－x＋2)2＝22．整理得5x2－24x＋16＝0，解得x1＝4（舍去），x2＝．∴y＝－×＋2＝，∴E2(，)．2若BE＝BD，则(x－4)2＋(－x＋2)2＝22．整理得5x2－24x＋16＝0，解得x1＝（此时点P在第四象限，舍去），x2＝．∴y＝－×()＋2＝，∴E3(，)．②△CDP有最大面积．8分过点D作x轴的垂线，交PC于点M，如图3．设直线PC的解析式为y＝px＋q，将C(0，2)，P(m，n)代入，得解得∴直线PC的解析式为y＝x＋2，∴M(2，＋2)．S△CDP＝S△CDM＋S△PDM＝xP·yM＝m(＋2)3＝m＋n－2＝m＋(－m2＋m＋2)－2＝－m2＋m＝－(m－)2＋∴当m＝时，△CDP有最大面积，最大面积为．9分此时n＝－×()2＋×＋2＝∴此时点P的坐标为(，)．10分33.如图，已知抛物线y＝x2＋4x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为(－1，0)．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．解：（1）对称轴为直线x＝－＝－2，即x＝－2；2分4令y＝0，得x2＋4x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝－3． 点B的坐标为(－1，0)，∴点A的坐标为(－3，0)．4分（2）存在，点P的坐标为(－2，3)，(2，3)和(－4，－3)．7分（3）存在．8分当x＝0时，y＝x2＋4x＋3＝3，∴点C的坐标为(0，3)．AO＝3，EO＝2，AE＝1，CO＝3． DE∥CO，∴△AED∽△AOC．∴＝，即＝．∴DE＝1．9分 DE∥CO，且DE≠CO，∴四边形DEOC为梯形．S梯形DEOC＝(1＋3)×2＝4．设直线CM交x轴于点F，如图．若直线CM把梯形DEOC分成面积相等的两部分，则S△COF＝2即CO·FO＝2．∴×3FO＝2，∴FO＝．∴点F的坐标为(－，0)．10分 直线CM经过点C(0，3)，∴设直线CM的解析式为y＝kx＋3．把F(－，0)代入，得－k＋3＝0．11分5∴k＝．∴直线CM的解析式为y＝x＋3．12分34.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C(－1，0)，如图所示；抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）过点B作BD⊥x轴于D． ∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠CAO＝90°．∴∠BCD＝∠CAO．1分又 ∠BDC＝∠COA＝90°，BC＝CA．∴Rt△BCD≌Rt△CAO，2分∴BD＝CO＝1，CD＝AO＝2．3分∴点B的坐标为(－3，1)；...