课题用均值不等式求最值的类型及方法学科数学教师宋秋瑜学校哈尔滨市第一二二中学校教材分析在学习了不等式性质的基础之上，这是本章的第二大节，涉及到了一个重要的不等式——均值不等式，本节课的设计主要基于以下两点事实：首先是研究函数的定义域、值域、单调性、最（小）值等问题都离不开不等式，根据课程要求重点就是要展示均值不等式在求函数最大（小）值中的应用；其次近些年来，数学应用的巨大发展是数学发展的显著特点之一，因此高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用，提高实践能力.三维目标知识与技能能掌握均值不等式，能用均值不等式解决简单的函数的最大（小）值问题.过程与方法利用均值不等式求最值的方法多样，而且变化多端，要掌握常见的变形技巧，掌握常见题型的求解方法.培养学生探究、分析解决问题的能力.情感态度价值观通过创设于日常生活密切相关的问题情境，使学生感受数学的实用价值，培养学生用数学的眼光看世界，增强应用意识，提高实践能力.重点深化理解均值不等式以及定理的应用难点均值定理求最值的发现探索过程的构建及应用教师活动设计意图一、几个重要的均值不等式①当且仅当a=b时，“=”号成立；②当且仅当a=b时，“=”号成立；注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；②熟悉一个重要的不等式链：。二、函数图象及性质(1)函数图象：运用均值不等式解决函数最值问题时，必须具备三个条件：“一正，二定，三相等”强调要想运用均值不等式，要具有等号成立的条件xabab2ab2aboy(2)函数性质：①值域：；②单调递增区间：，；单调递减区间：，.三、用均值不等式求最值的常见类型类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。例1、求函数的最小值解析：当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最小值是。评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。例2、求下列函数的最大值：解析：①，∴，当且仅当2即时，“=”号成立，故此函数最大值是评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。例3、若x、y，求的最小值。强调要想运用均值不等式，各项的积强调要想运用均值不等式，代数式中各项必须均为正数.解法一：（单调性法）由函数图象及性质知，当时，函数是减函数。证明：任取且，则， ，∴，则，即在上是减函数。故当时，在上有最小值5。解法二：（配方法）因，则有，易知当时，且单调递减，则在上也是减函数，即在上是减函数，当时，在上有最小值5。解法三：（导数法）由得，当时，，则函数在上是减函数。故当时，在上有最小值5。解法四：（拆分法），当且仅当时“=”号成立，故此函数最小值是5。评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。类型Ⅳ：条件最值问题。例4、已知正数x、y满足，求的最小值。此时可通过回顾本节课刚开始见到函数图像充分调动学生自主学习的兴趣，让所有的同学充分的融入到课堂上来，还可以检验学生对知识的掌握情况解法一：（利用均值不等式）,当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。解法二：（消元法）由得，由则。当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。解法三：（三角换元法）令则有则，易求得时“=”号成立，故最小值是18。评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：。原因就是等号成立的条件不一致.适当的引导学生的思考方向由此,学生可以找出解决该问题的方案，换元.布置作业均值不等式求最值试卷作业进一步反馈知识的掌握情况，合面向全体，分层教学和因材施教原则。板书设计教学反思研究性学习是一种新的学习方式，强调学生的主动探究能力，是教师指导和学生自主探究学习的有机结合。教师在教学过程中应力求“问题”提的自然顺畅，时间恰到好处，...
