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2.32待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(提高)VIP免费

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2.32待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(提高)【学习目标】1.能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式;2.经历探索由已知条件特点,灵活选择二次函数三种形式的过程,正确求出二次函数的解析式,二次函数三种形式是可以互相转化的.【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式:(1)一般式:(a,b,c为常数,a≠0);(2)顶点式:(a,h,k为常数,a≠0);(3)交点式:(,为抛物线与x轴交点的横坐标,a≠0).2.确定二次函数解析式常用待定系数法,用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步,设:先设出二次函数的解析式,如或,或,其中a≠0;第二步,代:根据题中所给条件,代入二次函数的解析式中,得到关于解析式中待定系数的方程(组);第三步,解:解此方程或方程组,求待定系数;第四步,还原:将求出的待定系数还原到解析式中.要点诠释:在设函数的解析式时,一定要根据题中所给条件选择合适的形式:①当已知抛物线上的三点坐标时,可设函数的解析式为;②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时.可设函数的解析式为;③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0),(x2,0)时,可设函数的解析式为.【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1.已知抛物线yaxbxc2经过A,B,C三点,当x0时,其图象如图1所示.求抛物线的解析式,写出顶点坐标.图1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为yaxbxc2(a0).由图象可知A,B,C的坐标分别为(0,2),(4,0),(5,-3).解之,得abc12322,,抛物线的解析式为yxx123222yxxx1232123225822()()该抛物线的顶点坐标为()32258,.【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标,需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时,通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意:如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”,那就必须加上自变量的取值范围x0.2.一条抛物线yxmxn142经过点()032,与()432,.求这条抛物线的解析式.【答案与解析】抛物线yxmxn142经过点(032,)和(,)432,这条抛物线的对称轴是直线x2.设所求抛物线的解析式为yxh1422().将点(,)032代入,得1402322()h,解得h12.这条抛物线的解析式为yx142122(),即yxx14322.【总结升华】解析式中的a值已经知道,只需求出mn,的值。已知条件给出了两个点,因此,可以从二次函数的一般式入手列方程组解答.还可以从所给两点(,),(,)032432的特征入手:这两点关于抛物线的对称轴对称,因此可知对称轴是直线x2,这样又可以从抛物线的顶点式入手.当点M(xy11,)和N(xy22,)都是抛物线上的点时,若yy12,则对称轴方程为xxx122,这一点很重要也很有用.3.已知抛物线yaxbxc2的顶点坐标为(-1,4),与x轴两交点间的距离为6,求此抛物线的函数关系式.【答案与解析】因为顶点坐标为(-1,4),所以对称轴为x1,又因为抛物线与x轴两交点的距离为6,所以两交点的横坐标分别为:x113,x213,则两交点的坐标为(4,0)、(2,0);求函数的函数关系式可有两种方法:解法:设抛物线的函数关系式为顶点式:yax()142(a≠0),把(2,0)代入得a49,所以抛物线的函数关系式为yx49142();解法:设抛物线的函数关系式为两点式:(a≠0),把(-1,4)代入得a49,所以抛物线的函数关系式为:;【总结升华】在求函数的解析式时,要根据题中所给条件选择合适的形式.举一反三:【变式】已知一抛物线与x轴的交点是,B(1,0),且经过点C(2,8).(1)求该抛物线的解析式;(2)求该抛物线的顶点坐标.【答案】(1);(2).类型二、用待定系数法解题4.如图所示,已知二次函数的图象经过A(2,0),B(0,-6)两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C,连接BA,BC,求△ABC的面积.【答案与解析】(1)把A(2,0),B(0,-6)代入得解得∴这个二次函数的解析式为.(2) 该抛物线的对称轴为直线,∴点C的坐...

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