2016-2017学年高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质第3节相似三角形的判定及性质第1课时相似三角形的判定课后练习新人教A版选修4-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．如图，AD∥EF∥BC，GH∥AB，则图中与△BOC相似的三角形的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：根据相似三角形的预备定理得△OEF∽△OBC(∵EF∥BC)；△CHG∽△CBO(∵HG∥OB)；△OAD∽△OBC(∵AD∥BC)．故与△BOC相似的三角形有3个．答案：C2.如图，△ABC∽△AED∽△AFG，DE是△ABC的中位线，△ABC与△AFG的相似比是3∶2，则△AED与△AFG的相似比是()A．3∶4B．4∶3C．8∶9D．9∶8解析：因为△ABC与△AFG的相似比是3∶2，故AB∶AF＝3∶2，又△ABC与△AED的相似比是2∶1.即AB∶AE＝2∶1.故△AED与△AFG的相似比k＝AE∶AF＝，＝×＝.答案：A3．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于()A．B．C．D．解析：在Rt△DAO及Rt△DEA中，∠ADO为公共角，∴Rt△DAO∽Rt△DEA，∴＝，即＝.∵E为AB的中点，∴＝＝，∴＝.答案：D4．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值的个数为()A．1个B．2个C．2个以上但有限D．无数个解析：若3,4为两直角边，则x＝5，若4为斜边，则x＝＝.这两个值都能保证两直角三角形相似．答案：B1二、填空题(每小题5分，共10分)5．△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D，则下列结论：①∠AFC＝∠C；②DF＝CF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD＝∠CAF.其中正确的是________(填写所有正确结论的序号)．答案：①③④6．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，则使△ABC∽△AED的条件是________.解析：此题属于开放题，答案不唯一，只要符合相似三角形判定定理即可．答案：∠ADE＝∠C，＝三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP.证明：在正方形ABCD中∵Q是CD的中点，∴＝2.∵＝3，∴＝4.又BC＝2DQ，∴＝2.在△ADQ和△QCP中，＝，∠C＝∠D＝90°，∴△ADQ∽△QCP.8．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α.且DM交AC于F，ME交BC于G，(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2)连接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的长．解析：(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM.以下证明：△AMF∽△BGM.∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM.2(2)当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC．∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝2.又∵△AMF∽△BGM，∴＝.∴BG＝＝＝.又AC＝BC＝4×sin45°＝4，∴CG＝4－＝.∵CF＝4－3＝1，∴FG＝＝＝.☆☆☆9．(10分)如图，已知△ABC，延长BC到D，使CD＝BC，取AB的中点F，连接FD交AC于点E.(1)求的值；(2)若AB＝a，FB＝EC，求AC的长．解析：(1)如图所示，过点F作FM∥AC，交BC于点M.∵F为AB的中点，∴M为BC的中点，∴FM＝AC，由FM∥AC，得∠CED＝∠MFD，∠ECD＝∠FMD．∴△FMD∽△ECD．∴＝＝.∴EC＝FM＝×AC＝AC，∴＝＝.(2)∵AB＝a，∴FB＝AB＝a.又FB＝EC，∴EC＝a.∵EC＝AC，∴AC＝3EC＝a.3
