【创新设计】（浙江专用）2017版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第8讲函数的应用练习基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·厦门模拟)函数f(x)＝2x－的零点所在的大致区间是()A.B.C.D.解析由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝2－2＜0，f(1)＝21－1＞0，所以函数的零点在区间内.答案B2.若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A.0，2B.0，C.0，－D.2，－解析由已知得b＝－2a，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x).令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－.答案C3.(2015·台州二模)已知函数f(x)＝－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值()A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于0解析注意到函数f(x)＝－log3x在(0，＋∞)上是减函数，因此当0＜x1＜x0时，有f(x1)＞f(x0).又x0是函数f(x)的零点，因此f(x0)＝0，所以f(x1)＞0，即此时f(x1)的值恒为正值，选A.答案A4.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为()A.10B.11C.13D.21解析设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为y＝＝x＋＋1.5(x∈N*)，由基本不等式得y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，当且仅当x＝，即x＝10时取等号，所以选A.答案A5.若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为()A.0B.－C.0或－D.2解析当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根.∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点.答案C二、填空题6.(2015·湖北卷)函数f(x)＝4cos2cos－2sinx－|ln(x＋1)|的零点个数为________.解析f(x)＝2(1＋cosx)sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，x＞－1，函数f(x)的零点个数即为函数y＝sin2x与y＝|ln(x＋1)|(x＞－1)的图象的交点个数.分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点.1答案27.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.解析设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，Smax＝400.答案208.已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________.解析画出f(x)＝的图象，如图.由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0＜m＜1，即m∈(0，1).答案(0，1)三、解答题9.已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围.解由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，如图所示，得⇒即－
