初中数学关注圆中两解问题 试题VIP专享VIP免费

初中数学关注圆中两解问题考察近年来各省市中考试题发现，有关圆的两解问题经常出现。这类题目重在考查同学们对基础知识的掌握与运用情况，这有利于培养严谨的逻辑思维能力。如果解题时考虑不严密，形成思维定势，就会漏解。现就圆中常见的两解问题举例分析，以期引起重视。一、点与圆的位置不确定例1在同一平面内，点P到⊙O的最长距离为8cm，最短距离为2cm，则⊙O的半径为___________。思路提示：由于点P与⊙O的位置关系有如图1两种可能，所以⊙O的半径应为5cm或3cm。图1例2⊙O的直径为6cm，如果直线a上的一点C到点O的距离为3cm，则直线a与⊙O的位置关系是_________。思路提示：题中只涉及点C到圆心的距离，并非是圆心到直线的距离，有如图2两种可能，所以直线a与⊙O的位置关系是相切或相交。图2二、圆心与弦的位置不确定例3⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，AB=6cm，CD=8cm，求AB与CD之间的距离。思路提示：圆心O与两平行弦的位置有如图3两种可能。利用垂径定理可求出OE=4cm，OF=3cm，所以AB与CD之间的距离为1cm或7cm。图3例4⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，⊙O1的半径为10，⊙O2的半径为17，公共弦AB=16，求两圆的圆心距。思路提示：对两圆相交问题，一些考生往往只考虑两圆的圆心在公共弦两侧的情况，即图4（1）的情况，很容易遗漏图4（2）的情况，所以正确答案是=21或=9。图4例5⊙O的半径为1cm，弦，，则∠BAC=________。思路提示：由于弦AB和CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧，有如图5两种可能。根据垂径定理及解直角三角形知识可求出∠CAO=45°和∠BAO=30°，从而可知∠BAC=15°或∠BAC=75°。图5三、圆与圆的位置不确定例6两圆相切，圆心距是10cm，其中一圆的半径为4cm，则另一圆的半径是_____。思路提示：两圆相切有内切和外切两种情况，所以另一圆的半径为6cm或14cm。例7⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为5cm，两圆没有公共点，则两圆的圆心距d的取值范围为___________。思路提示：两圆没有公共点，则⊙O1与⊙O2有外离或内含两种情况，外离时，d>7cm；内含时，0cm≤d<3cm。四、点在弧上的位置不确定例8PA，PC分别切⊙O于A，C两点，B为⊙O上与A，C不重合的点，若∠P=50°，则∠ABC=_________度。思路提示：由于点B可能在优弧ABC上，也可能在劣弧AC上，有如图6两种可能，所以∠ABC=65°或∠ABC=115°。图6例9在⊙O中，AB为直径，CD为弦，AB⊥CD，P为圆周上与C，D不重合的任意一点，判断∠COB与∠CPD的数量关系，并证明你的结论。思路提示：由于点P可能在优弧CPD上，也可能在劣弧CD上，有如图7两种可能。当P在优弧CPD上时，∠COB=∠CPD；当P在劣弧CD上时，∠COB=。图7五、弦与其所对弧的位置不确定例10圆的弦长恰好等于该圆的半径，则这条弦所对的圆周角是________度。思路提示：圆中一条弦所对的弧有优弧与劣弧之分，可求出这条弦所对的圆心角为60o，故该弦所对的圆周角是30°或150°。例11△ABC内接于⊙O，∠AOB=100°，则∠ACB=_________度。思路提示：由于△ABC的形状不确定，有如图8（1）锐角△ABC和如图8（2）钝角△ABC两种情况，所以∠ACB=50°或∠ACB=130°。图8