2.3函数的奇偶性、对称性与周期性核心考点·精准研析考点一函数奇偶性的判断1.下列函数为奇函数的是()A.f(x)=B.f(x)=exC.f(x)=cosxD.f(x)=ex-e-x2.已知函数f(x)=3x-,则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数3.若函数f(x)(x∈R)是奇函数,函数g(x)(x∈R)是偶函数,则()A.函数f(g(x))是奇函数B.函数g(f(x))是奇函数C.函数f(x)·g(x)是奇函数D.函数f(x)+g(x)是奇函数4.已知定义在R上的函数f(x),对任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)-f(x1)=f(x2)+5,则下列命题正确的是()A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数C.f(x)+5是奇函数D.f(x)+5是偶函数【解析】1.选D.对于A,定义域不关于原点对称,故不是奇函数;对于B,f(-x)=e-x=≠-f(x),故不是奇函数;对于C,f(-x)=cos(-x)=cosx≠-f(x),故不是奇函数;对于D,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),是奇函数.2.选A.因为函数f(x)的定义域为R,f(-x)=3-x-=-3x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.因为函数y=在R上是减函数,所以函数y=-在R上是增函数.又因为y=3x在R上是增函数,所以函数f(x)=3x-在R上是增函数.3.选C.令h(x)=f(x)·g(x),因为函数f(x)是奇函数,函数g(x)是偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x),所以h(x)=f(x)·g(x)是奇函数.4.选C.取x1=x2=0,得f(0+0)-f(0)=f(0)+5,所以f(0)=-5.令x1=x,x2=-x,则f[x+(-x)]-f(x)=f(-x)+5,所以f(0)-f(x)=f(-x)+5,所以f(-x)+5=-[f(x)+5],所以函数f(x)+5是奇函数.判断函数奇偶性的方法(1)定义法:利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式:=±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性.(2)图象法:利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性.(3)验证法:即判断f(x)±f(-x)是否为0.(4)性质法:在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.考点二函数的周期性及应用【典例】1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+5)=f(x),且当x∈时,f(x)=x3-3x,则f(2018)=()A.2B.-18C.18D.-22.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-,且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2017)+f(2019)的值为()A.0B.-4C.-2D.23.(2019·重庆模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线x=3对称,当x∈[0,3]时,f(x)=-x,则f(-16)=________.【解题导思】序号联想解题1由f(x+5)=f(x),想到周期函数2由f(x+2)=-,想到周期函数3由f(x)的图象关于直线x=3对称,想到f(x)=f(6-x)【解析】1.选D.因为f(x)满足f(x+5)=f(x),所以f(x)是周期为5的函数,所以f(2018)=f(403×5+3)=f(3)=f(5-2)=f(-2),因为f(x)是奇函数,且当x∈时,f(x)=x3-3x,所以f(-2)=-f(2)=-(23-3×2)=-2,故f(2018)=-2.2.选A.当x≥0时,f(x+2)=-,所以f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x≥0)的一个周期.所以f(-2017)=f(2017)=f(1)=log22=1,f(2019)=f(3)=-=-1,所以f(-2017)+f(2019)=0.3.根据题意,函数f(x)的图象关于直线x=3对称,则有f(x)=f(6-x),又由函数为奇函数,则f(-x)=-f(x),则有f(x)=-f(x-6)=f(x-12),则f(x)的最小正周期是12,故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2.答案:21.抽象函数的周期性(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中一个周期T=2a.(2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(4)如果f(x+a)=f(x-b),则T=|a+b|.(5)如果f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于x=b对称,则T=4|a-b|.(6)如果f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于(b,0)对称,则T=2|a-b|.2.函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.1.(2020·菏泽模拟)定义在R上的函数f(x)的周期为π,且是奇函数,f=1,则f的值为()A.1B.-1C.0D.2【解析】选B.因为函数f(x)的周期为π,所以f=f=f,因为f(x)为奇函数,所以f=-f=-1.2.(2019·长春模拟)已知定义在R上的函数f(x)的周期为6,且f(x)=则f(-7)+f(8)=()A.11B.C.7D.【解析】选A.根据f(x)的周期是6,故f(-7)=f(-1)=-(-1)+1=4,f(8)=f(2)=f(-2)=-(-2)+1=7,所以f(-7)+f(8)=11.3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2)....
