核心素养测评四十四利用空间向量求线线角与线面角(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1
平面α的斜线l与它在这个平面上的射影l′的方向向量分别为a=(1,0,1),b=(0,1,1),则斜线l与平面α所成的角为()A
90°【解析】选C
l与α所成的角为a与b所成的角(或其补角),因为cos==,所以=60°
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin的值为()A
【解析】选B
设正方体的棱长为2,以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,可知=(2,-2,1),=(2,2,-1),cos=-,sin=
已知△ABC与△BCD均为正三角形,且AB=4
若平面ABC与平面BCD垂直,且异面直线AB和CD所成角为θ,则cosθ=()A
【解析】选D
如图,因为等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直,所以取BC中点O,则AO,BC,OD两两垂直,以O为原点,建立如图空间直角坐标系O-xyz
则A(0,0,2),B(0,-2,0),C(0,2,0),D(2,0,0),所以=(0,-2,-2),=(2,-2,0),故cos==,所以异面直线AB和CD所成角的余弦值为
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点,则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为()A
【解析】选B
建系如图,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),E1,,0,F0,,1,B1(1,1,1)
=(0,1,0),=0,,-1,=-1,,0
设平面A1EF的一个法向量为n=(x,y,z),则即令y=2,则所以n=(1,2,1),cos==
设A1B1与平面A1EF的夹角为θ,则sinθ=cos=,即所求线面角的正弦值为
