《2.3数学归纳法》同步练习基础巩固训练一、选择题(每小题3分，共18分)1.某同学回答“用数学归纳法证明-.假设n=k时，不等式成立，则当n=k+1时，应推证的目标不等式是_______________________.【解析】从不等式结构看，左边n=k+1时，最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数.右边n=k+1时，式子-.即不等式为++…+>-.答案：++…++>-9.(2014·武汉高二检测)用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是____________________.【解析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n=k，左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12，n=k+1时，左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12，比较两式，从而等式左边应添加的式子是(k+1)2+k2.答案：(k+1)2+k2三、解答题(每小题10分，共20分)10.用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(其中n∈N*).【证明】(1)当n=1时，左边=1×4=4，右边=1×22=4，左边=右边，等式成立.(2)假设当n=k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2，那么，当n=k+1时，1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)·[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)·(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2，即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立.11.(2014·莆田高二检测)设函数y=f(x)对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.(1)求f(0)的值.(2)若f(1)=1，求f(2)，f(3)，f(4)的值.(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式，并用数学归纳法加以证明.【解析】(1)令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0⇒f(0)=0.(2)f(1)=1，f(2)=f(1+1)=1+1+2=4，f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9，f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16.(3)猜想f(n)=n2，下面用数学归纳法证明.当n=1时，f(1)=1满足条件.假设当n=k(k∈N*)时成立，即f(k)=k2，则当n=k+1时，f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=k...
