2012届高三理科数学一轮复习资料第八章立体几何第四课时空间向量及其运算一要点梳理：1.空间向量的有关概念（1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量.（2）相等向量：方向相同且模相等的向量.（3）共线向量：方向相同或相反的非零向量.（4）共面向量：能平移到同一平面内的向量.2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理（1）共线向量定理对空间任意两个向量a,b（b≠0）,a与b共线的充要条件是存在实数，使得a=b.（2）共面向量定理的向量：如果两个向量a,b不共线，那么向量p与a,b向量共线的充要条件是存在有序实数对（x,y）使得p=xa+yb,（3）空间向量基本定理：如果三个向量e1,e2,e3不共面，那么对空间任一向量p,存在惟一的有序实数组（x,y,z），使得p=xe1+ye2+ze3,把{e1，e2,e3}叫做空间的一个基底。如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底。特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示。推论：设是不共线的四点，则对空间任意一点，都存在惟一的有序实数组，使得。3.空间向量的数量积及运算律（1）数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O，作=a，=b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a,b〉,其范围是0≤〈a,b〉≤π,若〈a,b〉=,则称a与b互相垂直,记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做向量a,b的数量积,记作a·b即a·b=|a||b|·cos〈a,b〉4.空间向量的坐标表示及应用（1）数量积的坐标运算若a=（a1,a2,a3）,b=（b1,b2,b3）,则a·b=（2）共线与垂直的坐标表示设a=（a1,a2,a3）,b=（b1,b2,b3）,则a∥ba⊥b（a,b均为非零向量）.（3）模、夹角和距离公式12012届高三理科数学一轮复习资料设a=（a1,a2,a3）,b=（b1,b2,b3）,则|a|==，cos〈a,b〉==.二、随堂练习：1、如图所示，在平行六面体中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示向量=2、若a=（2x,1,3）,b=（1,-2y,9）,且a∥b，则x=,y=.3、已知a=（1-t，1-t，t），b=（2，t，t），则|b-a|的最小值为.4、在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，-3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是.5、A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足=0，=0，=0，则△BCD是三角形（用“锐角”、“直角”、“钝角”填空）.6、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点，则·的值为.22012届高三理科数学一轮复习资料7、如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若则=.8、已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当·取最小值时，点Q的坐标为9、如图所示，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.（1）求AC1的长；（2）求BD1与AC夹角的余弦值.3
