九年级数学上册专题突破讲练与圆有关的角试题新版青岛版VIP专享VIP免费

1与圆有关的角角是几何图形中最重要的元素，圆心角和圆周角是圆中比较常见的角。圆的特征赋予角极强的灵活性，使得角之间能灵活的互相转化。1.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。OBACD说明：在同圆或等圆中，根据圆周角与圆心角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索。2.圆周角定理推论：推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90o的圆周角所对的弦是直径。推论2：圆内接四边形的对角互补。说明：根据圆周角定理推论，可将直角三角形引入到圆中，解决圆中有关角或线段问题；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来。3.弧、弦、圆心角之间的关系：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。说明：根据弧、弦、圆心角之间的关系，可在圆中弧、弦、圆心角之间架起一道桥梁。4.切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径说明：圆的切线垂直于过切点的半径，可以把圆的有关问题转化为直角三角形的问题解决。示例：如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（）A.40°B.50°C.65°D.75°2解析：本题出现了切线，利用切线的性质，可把问题转化为直角三角形的问题解决；同时根据同圆的半径相等，可以建立等腰三角形解答问题。解： AB是⊙O的切线，∴∠OBA=90°，∴∠O=90°－∠BAO=90°－40°=50°，又 OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=21（180°－50°）=65°，故选C。例题已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D。（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小。解析：（1）连接OC，由已知及切线的性质推AD∥OC，进而根据OA=OC，推∠DAC、∠ACO、∠CAO的关系；（2）连接BF，根据已知条件利用直角三角形两直角互余求建立等量关系，再根据圆内接四边形对角互补转化关系，最后求∠BAF。答案：解：（Ⅰ）如图，连接OC。 直线l与⊙O相切于点C时，∴OC⊥l，得∠OCD=90°。由AD⊥l，得∠ADC=90°。∴AD∥OC，∴∠ACO=∠DAC，在⊙O中，由OA=OC，得∠BAC=∠ACO，∴∠BAC=∠DAC=30°；（Ⅱ）如图，连接BF。 AB为⊙O直径，，∴∠FAB+∠B=90°。 AD⊥l，∴∠DAE+∠AED=90°。3 ∠AED+∠AEF=180°，又 在⊙O中，四边形ABFE是圆内接四边形，有∠AEF+∠B=180°，∴∠AED=∠B，∴∠FAB=∠DAE。 ∠DAE=18°，∴∠BAF=18°。点拨：1.有切线和切点，常做切半径作为辅助线，转移相关的角；2.直径对的圆周角是直角、圆内接四边形的对角互补等性质是在圆中推导角的关系时常用的性质。圆中的角在开放性问题中的应用满分训练如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径。∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F。（1）求证：DP∥AB；（2）试猜想线段AE、EF、BF之间有何数量关系，并加以证明；解析：（1）题须作“经过切点的半径”，是圆中解决和切线有关的问题时常用的辅助线；理顺各角间的关系是解答本题的关键。（2）题须证明△ADE≌△DBF，利用圆周角定理找出AD＝BD是解答本题的关键；答案：（1）证明：连接OD。 PD切⊙O于点D，∴OD⊥PD，∴∠ODP＝90° ∠ACD＝∠BCD，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，∴∠AOD＝∠BOD＝21∠AOB＝21×180°＝90°，∴∠ODP＝∠BOD，∴PD∥AB。（2）答：BF－AE＝EF。证明如下： AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADE＋∠BDF＝90°。 AE⊥CD，BF⊥CD，∴∠AED＝∠BFD＝90°，∴∠FBD＋∠BDF＝90°，∴∠FBD＝∠ADE。 ∠AOD＝∠BOD，∴AD＝BD，∴△ADE≌△DBF。∴BF＝DE，AE＝DF，∴BF－AE＝DE－DF＝EF，即BF－AE＝EF。4POEFDBAC点拨：由于圆的切线垂直于过切点的半径，所以如果圆中有切线，一般作经过切点的半径，构造直角三角形，在直角三角形中求角的度数；在同圆或等圆中，常借助圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半...