《2.3.1抛物线及其标准方程》同步练习5一、选择题1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是()A.B.C．|a|D．－2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝±8x3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>)，则点M的横坐标是()A．a＋B．a－C．a＋pD．a－p4．过点M(2,4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l有()A．0条B．1条C．2条D．3条5．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－26．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比等于()A．B．C．D．二、填空题7．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是__________．8．若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．9．已知抛物线x2＝y＋1上一定点A(－1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是______________．三、解答题10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．11．求焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为的抛物线的标准方程．12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()A．B．1C．2D．413．求与圆(x－3)2＋y2＝9外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程．《2.3.1抛物线及其标准方程》同步练习5答案1．B[因为y2＝ax，所以p＝，即该抛物线的焦点到其准线的距离为，故选B.]2．D[由题意知抛物线的焦点为双曲线－＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.]3．B[由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x＝－的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a－.]4．C[容易发现点M(2,4)在抛物线y2＝8x上，这样l过M点且与x轴平行时，或者l在M点处与抛物线相切时，l与抛物线有一个公共点，故选C.]5．B[∵y2＝2px的焦点坐标为(，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.]6．A[如图所示，设过点M(，0)的直线方程为y＝k(x－)，代入y2＝2x并整理，得k2x2－(2k2＋2)x＋3k2＝0，则x1＋x2＝.因为|BF|＝2，所以|BB′|＝2.不妨设x2＝2－＝是方程的一个根，可得k2＝，所以x1＝2.＝＝＝＝＝.]7．y＝3解析抛物线x2＋12y＝0，即x2＝－12y，故其准线方程是y＝3.8．y＝4x29．(－∞，－3][1∪，＋∞)解析由题意知，设P(x1，x－1)，Q(x2，x－1)，又A(－1,0)，PA⊥PQ，－*6]＝(－x，－2－y)，PB·PQ＝0，即(－1－x1,1－x)·(x2－x1，x－x)＝0，也就是(－1－x1)·(x2－x1)＋(1－x)·(x－x)＝0.∵x1≠x2，且x1≠－1，∴上式化简得x2＝－x1＝＋(1－x1)－1，由基本不等式可得x2≥1或x2≤－3.10．解设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点F，由题意，得解得或故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.11．解设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．①直线方程变形为y＝2x＋1，②设抛物线截直线所得弦为AB.②代入①，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，则|AB|＝＝.解得a＝12或a＝－4.∴所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.12．C[本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．方法一由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－.∵准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，3∴＋＝4，∴p＝2.方法二作图可知，抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切于点(－1,0)，所以－＝－1，p＝2.]13．解设定圆圆心M(3,0)，半径r＝3，动圆圆心P(x，y)，半径为R，则由已知得下列等式，|∴PM|＝|x|＋3.当x>0时，上式几何意义为点P到定点M的距离与它到直线x＝－3的距离相等，∴点P轨迹为抛物线，焦点M(3,0)，准线x＝－3，∴p＝6，抛物线方程为y2＝12x.当x<0时，|PM|＝3－x，动点P到定点M的距离等于动点P到直线x＝3的距离，点P轨迹为x轴负半轴，当x＝0时，不符合题意，舍去．∴所求轨迹方程为y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0)．
