双曲线的一个性质及应用陈科吉李家煜圆锥曲线有很多奇妙的性质。下面我们来探讨一下双曲线的一个性质及其应用。性质：A是双曲线上的一点，l1，l2是它的两条渐近线，作交l1于B，交于C，则|AB|·|AC|为定值。证明：因sin∠BOC为定值，，故只需证得|AD|·|AE|为定值。设点A（x0，y0），而的方程为点A到的距离|AD|为同理，点A到的距离|AE|为因此，又，即因此，为定值，即|AB|·|AC|为定值。我们完成了这个性质的证明，但我们并未得到这个定值。由于这个性质的存在，我们可以用取特殊点的方法或通过计算sin∠BOC而得到定值。计算可得定值为，请读者自己证明。这是双曲线一个很有用的性质，熟练应用可以把一些问题化繁为简。请看下面两例。例1.如下图，已知双曲线，一条直线分别与双曲线及双曲线的渐近线交于A、B、C、D四点，且，k为常数，求ΔAOD的面积。解：作DE⊥BO，垂足为E∵题中双曲线的两条渐近线互相垂直∴CO//DE。由性质可知则故例2.如下图，已知两点A、C在双曲线C1：上，B、D在另一与C1共渐近线的双曲线C2上，四边形ABCD为平行四边形，且邻边分别平行两条渐近线，求C2的方程。初看这道题，或许有点找不着思路，因为按照常规计算，计算量是很大的。如果利用双曲线的上述性质，问题会迎刃而解。解：设AB交渐近线于，CD交渐近线于由性质可知：又，所以设，则由于两双曲线共渐近线，则所以，，故大家一定认识到双曲线的奇妙了，它还有许多性质，还有待大家探讨。
