二次函数动点问题(提高篇)VIP免费

数学压轴题二次函数动点问题1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－3，0)、B两点，与y轴相交于点C(0，)．当x＝－4和x＝2时，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值y相等，连结AC、BC．（1）求实数a，b，c的值；（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得解得a＝－，b＝－，c＝．（2）由（1）知y＝－x2－x＋，令y＝0，得－x2－x＋＝0．解得x1＝－3，x2＝1． A(－3，0)，∴B(1，0)．又 C(0，)，∴OA＝3，OB＝1，OC＝，∴AB＝4，BC＝2．∴tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝60°，∴∠CAO＝30°．同理，可求得∠CBO＝60°，∠BCO＝30°，∴∠ACB＝90°．∴△ABC是直角三角形．又 BM＝BN＝t，∴△BMN是等边三角形．∴∠BNM＝60°，∴∠PNM＝60°，∴∠PNC＝60°．∴Rt△PNC∽Rt△ABC，∴＝．1由题意知PN＝BN＝t，NC＝BC－BN＝2－t，∴＝．∴t＝．∴OM＝BM－OB＝－1＝．如图1，过点P作PH⊥x轴于H，则PH＝PM·sin60°＝×＝．MH＝PM·cos60°＝×＝．∴OH＝OM＋MH＝＋＝1．∴点P的坐标为(－1，)．（3）存在．由（2）知△ABC是直角三角形，若△BNQ与△ABC相似，则△BNQ也是直角三角形． 二次函数y＝－x2－x＋的图象的对称轴为x＝－1．∴点P在对称轴上． PN∥x轴，∴PN⊥对称轴．又 QN≥PN，PN＝BN，∴QN≥BN．∴△BNQ不存在以点Q为直角顶点的情形．①如图2，过点N作QN⊥对称轴于Q，连结BQ，则△BNQ是以点N为直角顶点的直角三角形，且QN＞PN，∠MNQ＝30°．∴∠PNQ＝30°，∴QN＝＝＝．2∴＝＝． ＝tan60°＝，∴≠．∴当△BNQ以点N为直角顶点时，△BNQ与△ABC不相似．②如图3，延长NM交对称轴于点Q，连结BQ，则∠BMQ＝120°． ∠AMP＝60°，∠AMQ＝∠BMN＝60°，∴∠PMQ＝120°．∴∠BMQ＝∠PMQ，又 PM＝BM，QM＝QM．∴△BMQ≌△PMQ，∴∠BQM＝∠PQM＝30°． ∠BNM＝60°，∴∠QBN＝90°． ∠CAO＝30°，∠ACB＝90°．∴△BNQ∽△ABC．∴当△BNQ以点B为直角顶点时，△BNQ∽△ABC．设对称轴与x轴的交点为D． ∠DMQ＝∠DMP＝60°，DM＝DM，∴Rt△DMQ≌Rt△DMP．∴DQ＝PD，∴点Q与点P关于x轴对称．∴点Q的坐标为(－1，－)．综合①②得，在抛物线的对称轴上存在点Q(－1，－)，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似．2.如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．3解：（1）由题意得．解得．∴所求抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P(－1，)或P(－1，)或P(－1，6)或P(－1，)；（3）解法一：过点E作EF⊥x轴于点F，设E(m，－m2－2m＋3)（－3＜a＜0）则EF＝－m2－2m＋3，BF＝m＋3，OF＝－m．∴S四边形BOCE＝S△BEF＋S梯形FOCE＝BF·EF＋(EF＋OC)·OF＝(m＋3)(－m2－2m＋3)＋(－m2－2m＋6)(－m)．＝－m2－m＋＝－(m＋)2＋∴当m＝－时，S四边形BOCE最大，且最大值为．此时y＝－(－)2－2×(－)＋3＝∴此时E点的坐标为(－，)．解法二：过点E作EF⊥x轴于点F，设E(x，y)（－3＜x＜0）4则S四边形BOCE＝S△BEF＋S梯形FOCE＝BF·EF＋(EF＋OC)·OF＝(3＋x)·y＋(3＋y)(－x)．＝(y－x)＝(－x2－3x＋3)．＝－(x＋)2＋∴当x＝－时，S四边形BOCE最大，且最大值为．此时y＝－(－)2－2×(－)＋3＝∴此时E点的坐标为(－，)．3.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x2－5x＋4＝...