平面问题有限元解法(公式推导讲解)VIP专享VIP免费

平面问题的有限单元解法25/2/17有限单元法基本思想有限单元法的思想是将物体（连续的求解域）离散成有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼近原来的物体，从而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解的一种数值分析法。物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元分析，最终得到对整个物体的分析。有限单元法的分析步骤如下：物体离散化单元特性分析单元组集，整体分析求解未知节点的位移由节点的位移求解各单元的位移和应力25/2/17有限元单元模型中几个重要概念单元网格划分中每一个小的块体节点确定单元形状、单元之间相互联结的点节点力单元上节点处的结构内力载荷作用在单元节点上的外力（集中力、分布力）约束限制某些节点的某些自由度弹性模量（杨式模量）E泊松比（横向变形系数）μ密度单元单元载荷节点节点力约束25/2/171.研究内容内容：弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。任务：解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。弹性力学的内容及基本假定2.研究对象一般弹性实体结构：三维弹性固体、板状结构、杆件等25/2/17弹性力学的内容及基本假定3.研究方法由平衡方程、几何方程、物理方程三方面分析4.数学理论基础——偏微分方程（高阶，二、三个变量）数值解法：能量法（变分法）、差分法、有限单元法等。25/2/17弹性力学的内容及基本假定5.基本假定（1）.连续性假定整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。作用：使得σ、ε、u等量表示成坐标的连续函数。),,(zyx),,(zyxuu)(zyxεε,,25/2/17弹性力学的内容及基本假定（2）.完全弹性假定假定物体完全服从虎克（Hooke）定律，应力与应变间成线性比例关系。脆性材料——一直到破坏前，都可近似为线弹性的；塑性材料——比例阶段，可视为线弹性的。（3）.均匀性假定假定整个物体是由同一种材料组成的，各部分材料性质相同。作用：弹性常数（E、μ）等——不随位置坐标而变化；取微元体分析的结果可应用于整个物体。25/2/17弹性力学的内容及基本假定（4）.各向同性假定（5）.小变形假定假定物体内一点的力学性质在所有各个方向都相同。作用：弹性常数（E、μ）——不随坐标方向而变化；假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小于物体的原来的尺寸。作用：建立方程时，可略去高阶微量；可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。使求解的方程线性化。25/2/17基本概念：外力、应力、形变、位移。1.外力：体力、面力(1)体力VFΔ——分布在物体体积内的力VVΔΔlim0ΔFf——体力分布集度（矢量）xyzOijkxfyfzfkjifzyxfff单位：N/m3kN/m3说明：f是坐标的连续分布函数；弹性力学中的几个基本概念p25/2/17(2)面力——分布在物体表面的力SFΔSSΔΔlim0ΔFf——面力分布集度（矢量）xyzOijkxfyfzf单位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)说明：弹性力学中的几个基本概念kjifzyxfff是坐标的连续分布函数；fp25/2/172.应力(1)一点应力的概念ΔAΔF内力(1)物体内部分子或原子间的相互作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑)PAAΔΔlim0ΔFp截面上P点的应力应力矢量.的极限方向F应力分量n(法线)应力的法向分量——正应力应力的切向分量——切应力单位:MPa(兆帕)应力关于坐标连续分布弹性力学中的几个基本概念25/2/17(2)一点的应力状态通过一点P的各个面上应力状况的集合——称为一点的应力状态x面的应力：xzxyx,,y面的应力：yzyxy,,z面的应力：zyzxz,,弹性力学中的几个基本概念25/2/17用矩阵表示：zzyzxyzyyxxzxyx其中，只有6个量独立。yxxyzyyz切应力互等定理xzzx应力正负号的规定：正应力——拉为正，压为负。切应力——坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标负面上，与坐标正向相反时为正。xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx弹性力学中的几个基本概念25/2/173.形变形变——物体的形状改变xyzO（1）线段长度的改变（...