图的着色问题VIP免费

问题来源图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的：用m种颜色为地图着色，使得地图上的每一个区域着一种颜色，且相邻区域颜色不同。问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点，把相邻两个区域用一条边相连接，就可以把一个区域图抽象为一个平面图。例如，图12-1（a）所示的区域图可抽象为12-1（b）所表示的平面图。19世纪50年代，英国学者提出了任何地图都可以4中颜色来着色的4色猜想问题。过了100多年，这个问题才由美国学者在计算机上予以证明，这就是著名的四色定理。例如，在图12-1中，区域用城市名表示，颜色用数字表示，则图中表示了不同区域的不同着色问题。问题来源图的着色•通常所说的着色问题是指下述两类问题：•1．给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中的每条边着色，要求每条边着一种颜色，并使相邻两条边有着不同的颜色，这个问题称为图的边着色问题。•2．给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色，并使相邻两顶点之间有着不同的颜色，这个问题称为图的顶着色问题。顶点着色－基本概念•独立集：对图G=(V,E)，设S是V的一个子集，若中任意两个顶点在G中均不相邻，则称S为G的一个独立集。•最大独立集：如果G不包含适合|S'|＞|S|的独立集S'，则称S为G的最大独立集。•极大覆盖：设K是G的一个独立集，并且对于V-K的任一顶点v，K+v都不是G的独立集，则称K是G的一个极大覆盖。•极小覆盖：极大独立集的补集称为极小覆盖。V的子集K是G的极小覆盖当且仅当：对于每个顶点v或者v属于K，或者v的所有邻点属于K（但两者不同时成立）。顶点着色－基本概念•K可着色：G的一个k顶点着色是指k种颜色1,2,…,k对于G各顶点的一个分配，如果任意两个相邻顶点都分配到不同的颜色，则称着色是正常的。换句话说，无环图G的一个正常k顶点着色是把V分成k个（可能有空的）独立集的一个分类(V1,V2,…,Vk)。当G有一个正常k顶点着色时，就成G是k顶点可着色的。•G的色数X（G）是指G为k可着色的k的最小值，若X（G）=k，则称G是k色的。•事实上，如果我们将同色的顶点列入一个顶点子集，那么求X（G）就转为求满足下列条件的最少子集数k：（1）两两子集中的顶点不同；（2）子集中的两两顶点不相邻。显然有：（i）若G为平凡图，则X（G）=1；（ii）若G为偶图，则X（G）=2（iii）对任意图G，有X（G）≤Δ+1（这里Δ表示为顶点数最大值）顶点着色－求顶色数的算法设计我们由“每个同色顶点集合中的两两顶点不相邻”可以看出，同色顶点集实际上是一个独立集，当我们用第1种颜色上色时，为了尽可能扩大颜色1的顶点个数，逼近所用颜色数最少的目的，事实上就是找出图G的一个极大独立集并给它涂上颜色1。用第2种颜色上色时，同样选择另一个极大独立集涂色，...，当所有顶点涂色完毕，所用的颜色数即为所选的极大独立集的个数。当然，上述颜色数未必就是X（G），而且其和能够含所有顶点的极大独立集个数未必唯一。于是我们必须从一切若干极大独立集的和含所有顶点的子集中，挑选所用极大独立集个数最小者，其个数即为所用的颜色数X（G）。由此可以得算法步骤：Step1：求G图的所有极大独立集；Step2：求出一切若干极大独立集的和含所有顶点的子集；Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小值，即为X（G）。求极小覆盖法－布尔代数法求极小覆盖的方法-布尔代数法：对于每个顶点v，选择v或者选择v的所有邻点。首先把“选择顶点v”这个指令记为符号v，然后对给定的指令x和y，指令“x或y”和“x与y”分别记为x+y（逻辑和）和x.y（逻辑积）。•例如，指令“选择a与b，或者选择b与c”记为ab+bc。从形式上看，逻辑和与逻辑积类似与集合的∪和∩，而且关于∪和∩成立的代数法则对于这两个运算也成立。•布尔恒等式aa=a•a+a=a•a+ab=a•如：bcdabbcdbcabcdabdabbcbdbcaabbdababd)bc)(a(ab求极小覆盖法－布尔代数法•例1：求图12-2G的顶色数解：•Step1：求极大独立集先求图G的极小覆盖，化简得故G的极小覆盖为取其补集，得到G的所有极大独立集：•Step2：求出一切若干极大独立集和所有顶点的子集显然我们可以选用4种颜色给每个顶点涂色，或者选用3种颜...