向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍(1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1;(2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直;(3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合(1)是的重心.证法1:设是的重心.证法2:如图三点共线,且分为2:1是的重心(2)为的垂心.证明:如图所示O是三角形ABC的垂心,BE垂直AC,AD垂直BC,D、E是垂足.同理,为的垂心(3)设,,是三角形的三条边长,O是ABC的内心为的内心.证明:分别为方向上的单位向量,平分,),令()化简得OABCDEOABCDE(4)为的外心。典型例题:例1:是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的()A.外心B.内心C.重心D.垂心分析:如图所示,分别为边的中点.//点的轨迹一定通过的重心,即选.例2:(03全国理4)是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的(B)A.外心B.内心C.重心D.垂心分析:分别为方向上的单位向量,平分,点的轨迹一定通过的内心,即选.例3:是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的()A.外心B.内心C.重心D.垂心分析:如图所示AD垂直BC,BE垂直AC,D、E是垂足.=ABCDEABCDE==+=0点的轨迹一定通过的垂心,即选.练习:1.已知三个顶点及平面内一点,满足,若实数满足:,则的值为()A.2B.C.3D.62.若的外接圆的圆心为O,半径为1,,则()A.B.0C.1D.3.点在内部且满足,则面积与凹四边形面积之比是()A.0B.C.D.4.的外接圆的圆心为O,若,则是的()A.外心B.内心C.重心D.垂心5.是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,若,则是的()A.外心B.内心C.重心D.垂心6.的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,,则实数m=7.(06陕西)已知非零向量AB与AC满足(+)·BC=0且·=,则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形8.已知三个顶点,若,则为()A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.既非等腰又非直角三角形练习答案:C、D、C、D、D、1、D、C【一些结论】:以下皆是向量1若P是△ABC的重心PA+PB+PC=02若P是△ABC的垂心PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积)3若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边)4若P是△ABC的外心|PA|²=|PB|²=|PC|²(AP就表示AP向量|AP|就是它的模)5AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|),λ[0,+∞)∈则直线AP经过△ABC内心6AP=λ(AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ[0,+∞)∈经过垂心7AP=λ(AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ[0,+∞∈)或AP=λ(AB+AC),λ[0,+∞)∈经过重心8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,A∠及∠B,C的外角平分线的交点【以下是一些结论的有关证明】1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性:已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量,延长CO交AB于D,根据向量加法得:OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得:a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0,因为OD与OC共线,所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c)OC+(aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线,向量OC与向量DA、DB不共线,所以只能有:ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知:DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线。必要性:已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E,CO与AB相交于F,O 是内心b/a=AF/BF∴,c/a=AE/CE过A作CO的平行线,与BO的延长线相交于N,过A作BO的平行线,与CO的延长线相交于M,所以四边形OMAN是平行四边形根据平行四边形法则,得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BOa*∴向量OA=b*向量BO+c*向量COa*∴向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},求P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},OP-OA...