平面向量第1课时向量的概念与几何运算1．向量的有关概念⑴既有又有的量叫向量．的向量叫零向量．的向量，叫单位向量．⑵叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量．⑶且的向量叫相等向量．2．向量的加法与减法⑴求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按法则或法则进行．加法满足律和律．⑵求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的重合，连结两向量的，方向指向．3．实数与向量的积⑴实数与向量的积是一个向量，记作．它的长度与方向规定如下：①||＝．②当＞0时，的方向与的方向；当＜0时，的方向与的方向；当＝0时，．⑵(μ)＝．(＋μ)＝．(＋)＝．⑶共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得．4．⑴平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得．⑵设、是一组基底，＝，＝，则与共线的充要条件是．题型一：平面向量的概念例1.出下列命题：①若ba，则ba；②若A、B、C、D是不共线的四点，则DCAB是四边形为平行四边形的充要条件；③若cbba,，则ca；④ba的充要条件是ba且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c。其中，正确命题的序号是____________答案：②③。题型二：向量的基本运算例2．已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设，，求．解：＝－＝(＋)－＝－＋变式训练1.如图所示，D是△ABC边AB上的中点，则向量等于（）A．－＋B．－－1典型例题基础过关ADBCC．－D．＋解:A例3.已知向量，，，其中、不共线，求实数、，使．解:＝λ＋μ2－9＝(2λ＋2μ)＋(－3λ＋3μ)2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9λ＝2，且μ＝－1变式训练2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：证明＋＝2，＋＝2＋＋＋＝4例4.已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若，，试用、表示和．解：连NC，则；变式训练3：如图所示，OADB是以向量＝，＝为邻边的平行四边形，又＝，＝，试用、表示，，．解:＝＋，＝＋，＝－题型三：共线向量定理、平面向量基本定理及应用例5.设，是两个不共线向量，若与起点相同，t∈R，t为何值时，，t，(＋)三向量的终点在一条直线上？解：设(∈R)化简整理得： ，∴故时，三向量的向量的终点在一直线上．变式训练4：已知，设，如果，那么为何值时，三点在一条直线上？解：由题设知，，三点在一条直线上的充要条件是存在实数，使得，即，整理得.①若共线，则可为任意实数；②若不共线，则有，解之得，.综上，共线时，则可为任意实数；不共线时，.1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．2．注意与O的区别．零向量与任一向量平行．2小结归纳BOADCNM3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证∥，且AB与CD不共线．要证A、B、C三点共线，则证∥即可．4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．第2课时平面向量的坐标运算1．平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得＝x＋y．我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作．并且||＝．2．向量的坐标表示与起点为的向量是一一对应的关系．3．平面向量的坐标运算：若＝(x1、y1)，＝(x2、y2)，λ∈R，则：＋＝－＝λ＝已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则＝．4．两个向量＝(x1、y1)和＝(x2、y2)共线的充要条件是．题型一：平面向量的坐标运算例1.已知点A（2，3），B（－1，5），且＝，求点C的坐标．解＝＝(－1，)，＝＝(1,)，即C(1,)变式训练1.若，，则=.解:提示：例2.已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，|－|＝，求cos(α－β)的值．解:|－|＝＝cos＝cos(α－β)＝变式训练2.已知－2＝(－3，1)，2＋＝(－1，2)，求＋．解＝(－1，1)，＝(1，0)，∴＋＝(0，1)题型二：共线向量的坐标运算例3.已知向量＝(1,2)，＝(x,1)，＝＋2，＝2－，且∥，求x．解:＝(1＋2x，4)，＝(2－x，3)，∥3(1＋2x)＝4(2－x)x＝变...
