2015届高三数学二轮复习教学案---专题二：三角函数与平面向量班级：姓名：日期：第2讲三角变换与解三角形【目标引领】1、三角恒等变换以公式的基本运用、计算为主，其中与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合。2、解三角形与其他知识以及生活中的实际问题联系紧密，有利于考查考生的各种能力，因而成了高考命题的一大热点。【主干知识梳理】1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝.2、二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝.3、三角变换的基本思路（1）化异为同：化异名为同名，化异次为同次，化异角为同角；（2）切化弦；（3）1的代换；（4）角的变换是核心：如，等。4．正弦定理＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝，sinB＝，sinC＝.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝，cosB＝，cosC＝.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.6．面积公式S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.7、三角形中的常用结论（1）(2)(3)【自学探究】扬中市第二高级中学高三数学备课组2015届高三数学二轮复习教学案---专题二：三角函数与平面向量班级：姓名：日期：1、已知，则2、3、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC为三角形（填直角，锐角或钝角）。4、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则5、(2013·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a＞b，则∠B等于________．答案解析由条件得sinBcosC＋sinBcosA＝，依正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝，∴sin(A＋C)＝，从而sinB＝，又a＞b，且B∈(0，π)，因此B＝.【典型问题研究】考点一、三角变换1、(2013·四川)设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．2、(2013·广东)已知函数f(x)＝cos，x∈R.(1)求f的值；(2)若cosθ＝，θ∈，求f3、(2012·江苏)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．1、 sin2α＝－sinα，∴sinα(2cosα＋1)＝0，又α∈，∴sinα≠0,2cosα＋1＝0即cosα＝－，sinα＝，tanα＝－，∴tan2α＝＝＝.2、(1)f＝cos＝cos＝cos＝1.(2)f＝cos＝cos＝cos2θ－sin2θ，又cosθ＝，θ∈，∴sinθ＝－，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－，cos2θ＝2cos2θ－1＝－，∴f＝cos2θ－sin2θ＝－＋＝.3、 α为锐角且cos＝，∴sin＝.扬中市第二高级中学高三数学备课组2015届高三数学二轮复习教学案---专题二：三角函数与平面向量班级：姓名：日期：∴sin＝sin＝sin2cos－cos2sin＝sincos－＝××－＝－＝.考点二、解三角形1、(2013·课标全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．2、设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且(2b－c)cosA＝acosC.(1)求角A的大小；(2)若角B＝，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．1、解(1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．②由①②和C∈(0，π)得sinB＝cosB.又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△ABC的面积S＝acsinB＝ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos.又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.2、解(1) (2b－c)cosA＝acosC，∴(2sinB－sinC)cosA＝sinAcosC.即2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosA＝sinB. sinB≠0，∴cosA＝， 0
