第13讲函数与方程VIP专享VIP免费

结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．结合具体函数的图象，能用二分法求近似解．1__________20________________.3[]__________()______()__________10yfxyfxfxyfxyfxyfxabyfxabcabcfx对于函数，我们把使①叫做函数的零点．方程有实根函数的图象②函数③如果函数在区间，上的图象是连续不断的一条曲线，并且④，那么，函数在区间，内有⑤，即存在，，使得⑥，这个也就是零点方程．函数的的根．1[]0______________________________.2abfafbyfxfx对于在区间，上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在区间⑦，使区间的两个端点逐步逼近⑧，进而得到零点近似值的方法叫做⑨．二分法002[]0()()0()0(())()0(())efxabfafbeabcfcfccfafcbcxacfcfbacxcbeabe给定精确度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：第一步，确定区间，，验证，给定精确度；第二步，求区间，的中点，；第三步，计算；ⅰ若，则就是函数的零点；ⅱ若，则令此时零点，；ⅲ若，则令此时零点，．第四步，判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似()ab值或；否则重复第二、三、四步．000fxxxfafbfc①的实数；②与轴有交点；③有零点；④；⑤零点；⑥；⑦一分为二；⑧零点【要点指南】；⑨二分法1.(2014·山东烟台模拟)已知函数f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,3)内近似解的过程中，取区间中点x0＝2，那么下一个有根区间为()A．(1,2)B．(2,3)C．(1,2)或(2,3)都可以D．不能确定【解析】因为f(1)＝－2＜0，f(2)＝7＞0，f(3)＝28＞0.所以f(1)·f(2)＜0，所以下一个有根区间在(1,2)内．2.方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为()A．2B．3C．1D．4【解析】构造函数y＝2－x与y＝3－x2，在同一坐标系中作出它们的图象如图，由图可知有两个交点．3.若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0,2B．0，12C．0，－12D．2，－12【解析】由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.令g(x)＝bx2－ax＝0得x＝0或x＝ab＝－12，故选C.4.(2014·北京卷)已知函数f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,4)D．(4，＋∞)【解析】方法1：对于函数f(x)＝6x－log2x，因为f(2)＝2>0，f(4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C.方法2：在同一坐标系中作出函数h(x)＝6x与g(x)＝log2x的大致图象，如图所示，可得f(x)的零点所在的区间为(2,4)．5.(2014·福建卷)函数f(x)＝x2－2x≤02x－6＋lnxx>0的零点个数是2.【解析】当x≤0时，f(x)＝x2－2，令x2－2＝0，得x＝2(舍去)或x＝－2，即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点．当x>0时，f(x)＝2x－6＋lnx，令2x－6＋lnx＝0，得lnx＝6－2x.作出函数y＝lnx与y＝6－2x在区间(0，＋∞)上的图象，则两函数图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x－6＋lnx(x>0)只有一个零点．综上可知，函数f(x)的零点的个数是2.一函数零点的判断与求解【例1】(1)函数f(x)＝log2x－1x的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)【解析】(1)由f(1)＝－1<0，f(2)＝12>0可得f(x)在(1,2)内必有零点．(2)若函数f(x)＝1－|x－1|，x∈－∞，212fx－2，x∈[2，＋∞，则函数F(x)＝xf(x)－1的零点的个数为()A．4B．5C．6D．7【解析】(2)据题意，函数F(x)＝xf(x)－1的零点个数可转化为函数y＝f(x)与函数y＝1x图象交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数图象如图所示：由图可知共有6个交点，故函数F(x)＝xf(x)－1的零点个数为6.(3)定义运算⊗：x⊗y＝|y|x≥yxx