第4讲三角函数的图象与性质【2013年高考会这样考】考查三角函数的值域、最值、单调性、周期性及对称性．【复习指导】1．要熟记本节的基础知识，并会将ωx＋φ看作一个整体进行解题．2．解题时要注意图象的应用，如利用图象求函数的最值、值域等．3．注重三角函数的性质和三角恒等变换的综合问题，这是近几年高考的热点．4．注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用．基础梳理1．“五点法”描图(1)y＝sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．(2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x≠kπ＋，k∈Z}图象对称性对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)无对称轴对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称中心：(k∈Z)对称中心：(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间，2kπ＋(k∈Z)；单调减区间，2kπ＋(k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间单调增区间，kπ＋(k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数(1)周期性函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．双基自测1．(人教A版教材习题改编)函数y＝cos，x∈R()．A．是奇函数B．既是奇函数又是偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．是偶函数2．函数y＝tan的定义域为()．A.B.C.D.3．(2012·成都质检)函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性是()．A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B．在上是增函数，在和上都是减函数C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D．在∪上是增函数，在上是减函数解析4．y＝sin的图象的一个对称中心是()．A．(－π，0)B.C.D.解析5．(2011·合肥三模)函数f(x)＝cos的最小正周期为_____第1页___．答案π考向一三角函数的定义域与值域【例1】►(1)求函数y＝lgsin2x＋的定义域．(2)求函数y＝cos2x＋sinx的最大值与最小值．[审题视点](1)由题干知对数的真数大于0，被开方数大于等于零，再利用单位圆或图象求x的范围．(2)将余弦化为正弦，再换元处理，转化为关于新元的一元二次函数解决．解【方法总结】(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．【训练1】(1)求函数y＝的定义域．(2)已知函数f(x)＝cos＋2sin·sin，求函数f(x)在区间上的最大值与最小值．解考向二三角函数的奇偶性与周期性【例2】►(2011·大同模拟)函数y＝2cos2－1是()．A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数[审题视点]先化简为一个角的三角函数，再确定周期和奇偶性．解析【方法总结】求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期求解公式进行．【训练2】已知函数f(x)＝(sinx－cosx)sinx，x∈R，则f(x)的最小正周期是________．解析考向三三角函数的单调性【例3】►已知f(x)＝sinx＋sin，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．[审题视点]化为形如f(x)＝Asin(x＋φ)的形式，再求单调区间．解第2页.【方法总结】求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间...
