13.4课题学习-最短路径问题VIP专享VIP免费

八年级上册13.4课题学习最短路径问题•学习目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．•学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？FEDCBA①②③两点之间,线段最短引入新知(Ⅰ)(Ⅰ)两点在一条直线异侧两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。A..BP思考:为什么这样就能得到最短距离呢？根据：两点之间线段最短.最短路径问题①垂线段最短。②两点之间，线段最短。LABABLC问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAll精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？探索新知BAll追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．探索新知B··Al（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）．BAlCABlC(Ⅱ)(Ⅱ)两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得CA+CB最小.追问1对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？探索新知问题2已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得CA+CB最小.B·lA·追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·ABlB′P点P的位置即为所求.作法：①作点B关于直线l的对称点B′.②连接AB′,交直线l于点P.已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小.探索新知探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′B′CC证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′B′CCC′C′探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′B′CCC′C′证明：在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．探索新知B·lA·B′B′CCC′C′追问1证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？探索新知追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′B′CCC′C′ABlB′P点P的位置即为所求.M作法：①作点B关于直线l的对称点B′.②连接AB′,交直线l于点P.(Ⅱ)(Ⅱ)两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小.为什么这样做就能得到最短距离呢？MA+MB′>PA+PB′即MA+MB′>PA+PB三角形任意两边之和大于第三边运用新知练习如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．AABBCCPPQQ山山河岸河岸大桥大桥运用新知基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短...