4.1平摆线4.2渐开线1.已知圆的渐开线的参数方程(φ为参数),则此渐开线对应基圆的面积是()A.1B.πC.2D.2π解析:由参数方程知基圆的半径为1,故其面积为π.答案:B2.下列各点中,在圆的摆线(φ为参数)上的是()A.(π,0)B.(π,1)C.(2π,2)D.(2π,0)解析:依次将点代入验证即可.答案:D3.如图,ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”,其中AE,EF,FG,GH…的圆心依次按B,C,D,A循环,它们依次相连接,则曲线AEFGH的长是()A.3πB.4πC.5πD.6π1解析:根据渐开线的定义可知,是半径为1的圆周长,长度为,继续旋转可得是半径为2的圆周长,长度为π;是半径为3的圆周长,长度为是半径为4的圆周长,长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.答案:C4.已知一个圆的参数方程为(φ为参数),那么圆的摆线方程中与参数φ=对应的点A与点B之间的距离为()A.-1B.C.D.解析:根据圆的参数方程可知,圆的半径为3,那么它的摆线的参数方程为(φ为参数),把φ=代入参数方程中可得即A,∴|AB|=.答案:C25.当φ=时,圆的摆线(φ为参数)上对应的点的坐标是.答案:(2π-4,4)6.已知一个圆的摆线方程是(φ为参数),则该圆的面积为,对应圆的渐开线方程为.答案:16π(φ为参数)7.已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数),则此渐开线对应的基圆的直径是,当参数φ=时对应的曲线上的点的坐标为.解析:圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定,从方程不难看出基圆的半径为1,故直径为2.求当φ=时对应的坐标只需把φ=代入曲线的参数方程,得x=,y=,由此可得对应的点的坐标为.答案:28.已知平摆线的生成圆的直径为80mm,写出平摆线的参数方程,并求其一拱的拱宽和拱高.解:∵平摆线的生成圆的半径r=40mm,∴此平摆线的参数方程为(t为参数),它一拱的拱宽为2πr=2π×40=80π(mm),拱高为2r=2×40=80(mm).39.已知圆的渐开线(φ为参数,0≤φ<2π)上有一点的坐标为(3,0),求渐开线对应的基圆的面积.解:把已知点(3,0)代入参数方程得解得所以基圆的面积S=πr2=π×32=9π.10.已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A,B对应的参数分别是,求A,B两点的距离.解:根据条件可知圆的半径是1,所以对应的渐开线的参数方程是(φ为参数),分别把φ=和φ=代入,可得A,B两点的坐标分别为A,B.那么,根据两点之间的距离公式可得A,B两点的距离为|AB|==,即A,B两点之间的距离为.45
