【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第2章参数方程2.4平摆线和渐开线学业分层测评北师大版选修4-4(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是()A.ρsinθ＝－2B.ρcosθ＝－2C.ρsinθ＝2D.ρcosθ＝2【解析】过点与极轴平行的直线为y＝－2，即ρsinθ＝－2.【答案】A2.在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是()A.B.C.(1,0)D.(1，π)【解析】由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.【答案】B3.极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是()【导学号：12990013】A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线【解析】∵方程(ρ－1)(θ－π)＝0，∴ρ＝1或θ＝π，ρ＝1为半径是1的圆，θ＝π是一条射线.【答案】C4.曲线的极坐标方程ρ＝4sinθ化成直角坐标方程为()A.x2＋(y＋2)2＝4B.x2＋(y－2)2＝4C.(x－2)2＋y2＝4D.(x＋2)2＋y2＝4【解析】∵ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，∴x2＋y2＝4y，∴x2＋(y－2)2＝4.【答案】B5.在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ垂直于极轴的两条切线方程分别为()A.θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B.θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2C.θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝1D.θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1【解析】在极坐标系中，圆心坐标ρ＝1，θ＝0，半径r＝1.故左切线为θ＝或.右切线满足cosθ＝⇒ρcosθ＝2，即切线方程为θ＝和ρcosθ＝2.所以选B.【答案】B二、填空题16.圆ρ＝2cosθ的半径是________.【解析】∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x，(x－1)2＋y2＝1，∴r＝1.【答案】17.在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________.【解析】∵ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，x2＋y2＝4y，∴x2＋(y－2)2＝4.又θ＝，∴直线方程y＝x.由点到直线的距离公式有d＝＝.【答案】8.在极坐标系中，曲线C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.【解析】ρ(cosθ＋sinθ)＝1，即ρcosθ＋ρsinθ＝1对应的普通方程为x＋y－1＝0，ρ＝a(a>0)对应的普通方程为x2＋y2＝a2.在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.将代入x2＋y2＝a2，得a＝.【答案】三、解答题9.在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值.【解】将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直线的方程为3x＋4y＋a＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有＝1，解得a＝－8或a＝2.故a的值为－8或2.10.在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.【解】在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)，因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC＝＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.能力提升]1.在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点作曲线C的切线，则切线长为()【导学号：12990014】A.4B.C.2D.2【解析】ρ＝4sinθ化为普通方程为x2＋(y－2)2＝4，点化为直角坐标为(2，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理得，切线长为＝2，故选C.2【答案】C2.在极坐标系中，直线l的方程为ρsin＝，则点A到直线l的距离为()A.B.C.2－D.2＋【解析】由ρsin＝，得ρsinθ＋ρcosθ＝1，即直线方程为x＋y＝1.点A对应的直角坐标为即直角坐标为(－，).所以点到直线的距离为＝，选B.【答案】B3.在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点.若△AOB是等边三角形，则a的值为________.【解析】由ρ＝4sinθ可得x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.由ρsinθ＝a可得y＝a.设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示.由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.在Rt△DOB中，易求DB＝a，∴B点的坐标为.又∵B在x2＋y2－4y＝0上，∴2＋a2－4a＝0，即a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3.【答案】34.在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos上的动点，试求|PQ|的最大值.【解】∵ρ＝12sinθ，∴ρ2＝12ρsinθ，∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.又∵ρ＝12cos，∴ρ2＝12ρ，∴x2＋y2－6x－6y＝0，∴(x－3)2＋(y－3)2＝36，∴|PQ|max＝6＋6＋＝18.3
