高中数学 3-1-2导数的几何意义课件 新人教B版选修1 课件VIP免费

•1．知识与技能•理解导数的几何意义，并会用导数的定义求曲线的切线方程．•2．过程与方法•能用导数的方法解决有关函数的一些问题．•3．情感态度与价值观•理解导数的几何意义，体会导数的思想及丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的应用．•本节重点：导数的几何意义．•本节难点：利用导数解决实际问题．•导数的几何意义主要应用在研究曲线的切线问题上．(1)已知函数图象上某一点的坐标，可以利用导数求该点的切线方程或其倾斜角的大小；(2)已知函数图象上某一点的切线方程可以求出切点坐标等．•[例1]求曲线y＝x2＋3x＋1在点(1,5)处的切线的方程．[解析]y′|x＝1＝limΔx→0(1＋Δx)2＋3(1＋Δx)＋1－(12＋3×1＋1)Δx＝limΔx→05Δx＋(Δx)2Δx＝limΔx→0(5＋Δx)＝5，•即切线的斜率k＝5，•∴曲线在点(1,5)处的切线方程为y－5＝5(x－1)•即5x－y＝0.•[说明]解答本题的过程中，易出现把“过点P的切线”与“曲线在点P处的切线”混淆的错误，导致该种错误的原因是没有分清已知点是否为切点．•求曲线在点P(x0，y0)处的切线的方程，即给出了切点P(x0，y0)的坐标，求切线方程的步骤：•①求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；•②根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)；•③若曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数存在且f′(x0)>0，切线与x轴正向夹角为锐角；f′(x0)<0，切线与x轴正向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行．•[例2]若上例中曲线方程不变，求过点(2,5)的切线的方程．•[解析]设曲线过点(2,5)的切线的切点坐标为(x0，y0)，•y′|x＝x0＝limΔx→0(x0＋Δx)2＋3(x0＋Δx)＋1－(x20＋3x0＋1)Δx＝limΔx→0(2x0＋3)Δx＋(Δx)2Δx＝2x0＋3.∴切线方程为y－(x20＋3x0＋1)＝(2x0＋3)(x－x0)．又此切线过点(2,5)，∴5－x20－3x0－1＝(2x0＋3)(2－x0)，解得x0＝2±6.∴切线方程为y＝(7＋26)x－9－46或y＝(7－26)x－9＋46.•[说明]若点Q(x1，y1)在曲线外，求过点Q曲线的切线方程的步骤为：•①设切点为(x0，y0)；•②求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；•③根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)；•④该切线过点Q(x1，y1)，代入求出x0，y0的值，代入③得到所要求的切线方程．•(1)点P处的切线的斜率；•(2)点P处的切线方程．已知曲线y＝13x3上一点P2，83，求：[解析](1) y＝13x3，∴y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→013(x＋Δx)3－13x3Δx＝13limΔx→03x2Δx＋3xΔx2＋Δx3Δx＝13limΔx→0(3x2＋3xΔx＋Δx2)＝x2，y′|x＝2＝22＝4.∴点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y－83＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.•求曲线Cy＝x2＋x过点P(1,1)的切线方程．•则切线方程为y－y0＝(2x0＋1)(x－x0)，•因为切线方程过点P(1,1)，[解析]设切点为(x0，y0)，y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－x20－x0Δx＝2x0＋1，·所以1－(x20＋x0)＝(2x0＋1)(1－x0)，•解得x0＝0或x0＝2，•所以切线方程的斜率为1或5，•所以所求切线方程为y＝x或y＝5x－4.•[例3]已知抛物线y＝x2在点P处的切线与直线y＝2x＋4平行．求点P的坐标和切线方程．[解析]设点P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝limΔx→0(x0＋Δx)2－x20Δx＝limΔx→02x0Δx＋(Δx)2Δx＝2x0.又曲线在点P处的切线与直线y＝2x＋4平行，∴2x0＝2，∴x0＝1.又点P(x0，y0)是曲线y＝x2上一点，∴y0＝x20＝1，∴点P的坐标为(1,1)．曲线在点P处的切线方程为y－1＝2(x－1)．即2x－y－1＝0.•已知直线y＝2x＋m与曲线y＝x2相切，求实数m的值及切点坐标．•由曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y＝2x＋m知2x0＝2，∴x0＝1，[解析]设切点为P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝limΔx→0(x0＋Δx)2－x20Δx＝limΔx→02x0Δx＋(Δx)2Δx＝2x0.•∴P(1,1)．•又点P在切线y＝2x＋m上，∴m＝－1，•∴m的值为－1，切点坐标为(1,1)．•[例4]曲线y＝x3在x0＝0处的切线是否存在，若存在，求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由．•[解析]令y＝f(x)＝x3，•Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝Δx3，ΔyΔx＝Δx2，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于常数0，这说明割线会...