高中数学 第四章 数系的扩充 复数的概念要点解读素材 北师大版选修1-2 课件VIP免费

复数的概念要点解读一、复数的基本概念：为了解决1有解这一问题，引进了新数i；1）虚数单位：i叫做虚数单位，并规定：①它的平方等于1，即21i；②和无理数相似，虚数单位i可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有的加，乘运算律仍然成立。规定：00i，这时任何一个实数a都可以写成0aai的形式。2）复数：形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数（(,)zabiabR）a和b分别叫做复数z的实部和虚部，分别用Rez（Real）和Imz（Imaginary）表示。全体复数所成的集合称为复数集一般用字母C表示（Complexnumbers）。当b=0时，就是实数；当b≠0时叫虚数；当a=0，b≠0时，叫做纯虚数。引入新数i（虚数单位）后，我们将数系由实数集扩充到了复数集，从而完成了数系的最后一次扩展。二、几个基本要点1、正确认识复数的实部与虚部对于复数),(Rbabia，实部是a，虚部是b．注意在说复数bia时，一定有Rba,，否则，不能说实部是a，虚部是b,复数的实部和虚部都是实数．说明：对于复数的定义，特别要抓住bia这一标准形式以及ba,是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助．2、关于复数能否比较大小分析教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：①根据两个复数相等地定义，可知在dbca,两式中，只要有一个不成立，那么dicBia．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：(i)对于任意两个实数a，b来说，a＜b，a=b，b＜a这三种情形有且仅有一种成立；(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向学生讲解)3、在讲复数集与复平面内所有点所成的集合对应时注意事项①任何一个复数biaz都可以由一个有序实数对(ba,)唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对(ba,)叫做复数的．②复数biaz用复平面内的点Z(ba,)表示．复平面内的点Z的坐标是(ba,)，而不是(iba,)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i．由于i=0＋1·i，所以用复平面内的点(0，1)表示i时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数i时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位i，或者i就是纵轴的单位长度．③当0a时，对任何0b，bibibia0是纯虚数，所以纵轴上的点(b,0)(0b)都是表示纯虚数．但当0ba时，0bia是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写．要学生注意．4、正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类如下：注意分清复数分类中的界限：①设),(Rbabiaz，则z为实数.0b②z为虚数.0b③00az且0b．④z为纯虚数0a且.0b5、关于共轭复数的概念设),(Rbabiaz，则biaz，即z与z的实部相等，虚部互为相反数（不能认为bia与bia或bia是共轭复数）．教师可以提一下当0b时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当0b时，bia与bia互为共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行．