2．2向量的线性运算2．2.1向量的加法【课标要求】1．通过物理中的位移合成、力的合成等实例认识理解向量加法的意义，体验数学知识发现、发展的过程．2．理解掌握向量加法运算，能够运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量．3．理解向量加法的运算律，能熟练地运用它们进行向量运算．【核心扫描】1．理解向量加法的法则及其几何意义．(重点)2．能用法则及其几何意义作两个向量的和．(难点)自学导引1．向量的加法的定义已知向量a和b，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，则向量OB→叫做a与b的和，记作.即a＋b＝OA→＋AB→＝.求两个向量和的运算叫做向量的加法．a＋bOB→2．向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝AB→＋BC→＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.AC→AC→(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线的非零向量a，b，作OA→＝a，OC→＝b，则O、A、C三点不共线，以，为邻边作，则对角线上的向量OB→＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．OAOC▱OABC试一试：若n个向量求和，如何表示？提示将n个向量依次首尾相接，则以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量即为这n个向量的和向量．即A1A2→＋A2A3→＋…＋AnAn＋1＝A1An＋1.3．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝.(2)结合律：(a＋b)＋c＝．想一想：不共线的向量a，b与向量a＋b的模及方向的关系怎样？b＋aa＋(b＋c)提示当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|.名师点睛1．向量加法的三角形法则与平行四边形法则(1)使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，具体做法是：把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与其前一个向量的终点重合即用同一个字母来表示)，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就表示这些向量的和．(2)用向量加法的三角形法则，可以证明向量是否共线，即确定多点共线问题，如|AB→|＋|BC→|＝|AC→|，则A、B、C三点共线．(3)平行四边形法则的应用前提是两个向量是从同一点出发的不共线向量．(4)当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是一样的．三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用了．(5)由向量的三角形法则，可以得到：①当a，b不共线时，|a＋b|<|a|＋|b|；②当a，b同向共线时，a＋b，a，b同向，则|a＋b|＝|a|＋|b|；③当a，b反向共线时，若|a|>|b|，则a＋b与a同向，|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b与b同向，|a＋b|＝|b|－|a|.2．向量加法(1)两个向量的和仍是一个向量．(2)向量加法可推广到n个向量，即：A1An→＝A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An，特别地当A1与An重合时，A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An＝0，运用此结论可以证明一个图形是否为封闭图形，如不共线的三个向量a，b，c，若a＋b＋c＝0，则由这三个向量可以构成一个三角形.题型一作出向量的和向量【例1】如图，已知向量a，b，c，试用向量的三角形法则和平行四边形法则分别作出a＋b＋c.[思路探索]属于用三角形法则和平行四边形法则求向量的和．解用三角形法则作a＋b＋c.作OA→＝a，以A为起点作AB→＝b，再以B为起点，作BC→＝c，则OC→＝OA→＋AB→＋BC→＝a＋b＋c.如图(1)所示．用平行四边形法则作a＋b＋c，作OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，以OA→和OB→为邻边作平行四边形OADB，则OD→＝a＋b.再以OD→和OC→为邻边作平行四边形ODEC，则OE→＝OD→＋OC→＝a＋b＋c.如图(2)所示．规律方法三角形法则，需两个向量“首尾相接”，而平行四边形法则是两个向量有相同的起点．【变式1】如图(1)所示，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.解可先作a＋c，然后再作(a＋c)＋b，即为a＋b＋c.如图(2)所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，接着作向量AB→＝c，则得向量OB→＝a＋c.然后作向量BC→＝b，则向量OC→＝a＋b＋c为所求．题型二向量加法运算【例2】化简下列各...
