进入学案5直线和平面所成的角与二面角考点一考点二考点三返回目录1.直线和平面所成角及其范围平面的一条斜线，与它在平面内的射影所成的，叫这条直线与平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们就说这条直线与平面所成的角是.一直线与平面平行或在平面内，我们说这条直线与平面所成的角是.若θ表示直线与平面所成的角，则线面角的范围是.锐角直角0°角0°≤θ≤90°2.直线与平面所成角的性质及公式斜线与平面所成的角是这条直线与平面内的一切直线所成的角中.公式：cosθ=cosθ1·cosθ2.斜线AB与平面α所成的角为θ1,A为斜足,AC在α内，且与AB的射影成θ2角，∠BAC=θ，则有cosθ=cosθ1·cosθ2.最小的角返回目录3.二面角及其平面角从一条直线出发的两个所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.一个平面垂直于二面角α-l-β的棱l，且与两个半平面的交线分别是射线OA,OB，O为垂足，则∠AOB叫做二面角α-l-β的.平面角的范围是(0°,180°］.4.两个平面互相垂直的判定定理及性质定理如果一个平面过另一个平面的，那么这两个平面互相垂直.如果两个平面互相垂直，那么垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.在一个平面内半平面平面角一条垂线返回目录考点一求线面角【例1】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角.【分析】求线、面所成角的基本方法就是作出斜线在平面内的射影，得到直线和平面所成的角，通过解三角形或求出该角.返回目录【解析】解法一：如上图,连接BC1交B1C于O. ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴BOB⊥1C.又 A1B1⊥面B1BCC1，则A1B1BO⊥，∴BO⊥面A1B1CD，∴A1O是A1B在面A1B1CD上的射影.且∠BA1O是直线BA1与平面A1B1CD所成的角.设正方体棱长为a，则A1B=a,BO=a.∴sinBA∠1O=，∴∠BA1O=30°.因此，A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.22221BABO1返回目录【评析】求线面角的关键是找射影，而由斜线上一点作面的垂线时，需明确垂足的位置，这样便于计算.返回目录＊对应演练＊如图所示，四面体ABCS中，SA，SB，SC两两垂直，∠SBA=45°,SBC=60°,M∠为AB的中点.求：（1）BC与平面SAB所成的角；（2）SC与平面ABC所成角的正切值.返回目录（1） CSSB,CSSA,SC⊥⊥∴⊥平面SAB，∴BC在平面SAB上的射影为SB,∴∠SBC为SB与平面SAB所成的角.又 ∠SBC=60°,故BC与平面SAB所成的角为60°.返回目录（2）连结MC，在RtASB△中，∠SBA=45°,∴SMAB.⊥又 ABSC⊥，∴AB⊥面SMC.∴面SMC⊥面ABC.过点S作SOMC⊥于点O，∴SO⊥面ABC，∴∠SCM为SC与平面ABC所成的角.设SB=a,则SM=a,在△SBC中，SC=SBtan60°=a,∴tanSCM==.∠22366SCSM返回目录考点二求二面角【例2】如图，在长方体ＡＢＣＤ—Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，已知ＡＢ＝４，ＡＤ＝３，ＡＡ１＝２.Ｅ，Ｆ分别是线段ＡＢ，ＢＣ上的点，且ＥＢ＝ＦＢ＝１.求：（１）二面角Ｃ—ＤＥ—Ｃ１的正切值；（２）直线ＥＣ１与ＦＤ１所成角的余弦值.返回目录【分析】（1）利用三垂线定理作出二面角C—DE—C1的平面角，解三角形求得.（2）将两条异面直线平移为相交直线得到夹角.【解析】解法一：如图所示,（１）过Ｃ作ＣＧ⊥ＤＥ，垂足为Ｇ，连结Ｃ１Ｇ. ＣＣ１⊥平面ＡＢＣＤ，∴ＣＧ是Ｃ１Ｇ在平面ＡＢＣＤ上的射影.返回目录由三垂线定理得ＤＥ⊥Ｃ１Ｇ.∴∠ＣＧＣ１是二面角Ｃ—ＤＥ—Ｃ１的平面角.在△ＡＤＥ中，ＡＥ＝ＡＤ＝３，∠ＤＡＥ＝９０°，∴∠ADE=45°CDG=90°-45°=45°.∠∴CG＝CD·sinCDG∠＝4×sin45°=.∴tanCGC∠1=.2222222CGCC1返回目录所以Ｅ１Ｄ１∥ＥＣ１，于是∠Ｅ１Ｄ１Ｆ为ＥＣ１与ＦＤ１所成的角或其补角.因为在Ｒｔ△BE１F中，E１F＝(2)延长ＢＡ至点Ｅ１，使ＡＥ１＝１，连结E１F,DE1,D１E１,DF.有D１C１∥Ｅ１Ｅ，D１C１＝Ｅ１Ｅ，则四边形Ｄ１Ｅ１ＥＣ１是平行四边形.26152222BFEB返回目录在Rt△D１ＤＥ１中，Ｄ１Ｅ１＝在Ｒｔ△Ｄ１ＤＦ中，ＦＤ１＝所以在△Ｅ１ＦＤ１中，由余弦定理得ｃｏｓ∠E１D１F＝14231DDADAEDDDE22221221212124242DDCDCFDDFD2222122212.142124142262414FDED2FEFDDE111212121...
