§9.6空间距离考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考9.6空间距离双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理1．两点间的距离——连结两点的________的长度．2．点到直线的距离——从直线外一点向直线引垂线，________的长度．3．点到平面的距离——从点向平面引垂线，________的长度．4．平行直线间的距离——从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，________的长度．垂线段垂线段垂线段线段5．异面直线间的距离——两条异面直线的________的长度．6．直线与平面间的距离——如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，________的长度．7．两平行平面间的距离——夹在两个平行平面之间的________的长度．公垂线垂线段垂线段思考感悟1．在空间中，A、B是两定点，满足PA＝PB的P点轨迹是什么？提示：线段AB的垂直平分面．2．若直线l上有两点到平面α的距离相等，l∥α吗？提示：不一定，l∥α，l∩α＝O，l⊂α都有可能．1．下列命题中：①PA⊥矩形ABCD所在的平面，则P、B两点间的距离等于点P到BC的距离；②若a∥b，a⊄α，b⊂α，则a与b的距离等于a与α的距离；③直线a、b是异面直线，a⊂α，b∥α，则a、b之间的距离等于b与α的距离；④直线a、b是异面直线，a⊂α，b⊂β，且α∥β，则a、b之间的距离等于α与β之间的距离．课前热身其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案：A答案：C2．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝AA1＝a，则点A到平面A1BC的距离是()A．aB.2aC.22aD.3a答案：C3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1.线段A1D1的中点M到AB的距离为()A．1B.2C.52D.54．(教材例1改编)已知正三角形ABC的边长为6，中心为H，OH⊥平面ABC，且OH＝2，则O到各边的距离为________．答案：75．正三棱锥P－ABC的高为2，侧棱与底面ABC成45°角，则点A到侧面PBC的距离为________．答案：655考点探究·挑战高考考点突破点与点、异面直线间的距离求两点间距离即求线段的长度，可以通过含有这个线段的三角形求解．也可以看作是向量的模，若A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.异面直线之间的距离，实质上就是异面直线上两点距离的最小值，故先作出公垂线段，求其长度．课本上异面直线上两点间距离公式：|EF|＝m2＋n2＋d2±2mncosθ.也可用来求异面直线的距离或者向量的模．参考教材例2.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°的角且BD＝3，求对角线AC的长度．例例11【思路分析】折起后，AC为异面直线的公垂线段，AB＝CD＝1，用向量或者解三角形可求AC.【解】法一： ABCD为平行四边形且∠ACD＝90°，∴∠CAB＝90°，∴AC为AB，CD的公垂线过A作AE∥CD，且AE＝CD，∴ACDE为矩形，AC＝ED，连结BE，∴∠BAE＝60°，∴AB＝AE＝BE＝1，∠BED＝90°，∴BD2＝BE2＋ED2，∴ED2＝3－1＝2，∴ED＝2，∴AC＝2.法二：BD→＝BA→＋AC→＋CD→，BD→2＝(BA→＋AC→＋CD→)2，AB→·AC→＝0，AC→·CD→＝0，〈AB→，CD→〉＝60°，∴|BD→|2＝|BA→|2＋|AC→|2＋|CD→|2＋2BA→·AC→＋2AC→·CD→＋2BA→·CD→.∴3＝1＋|AC→|2＋1＋2×1×1×cos120°，∴|AC→|2＝2，∴|AC→|＝2.即AC＝2.【领悟归纳】异面直线的公垂线有且唯一，将此线段转化到三角形中求解．平面的垂线段往往是通过面面垂直关系来找．点到面的距离可参考等积法，或者转化为其他距离，即将该点与平面内的某三个点连结起来构成三棱锥，利用三棱锥每一个面均可作底面这一性质，通过体积相等列出方程，解方程即可求出所求距离．对于很难找出垂线段的，可用向量求解．参考教材例1，习题9.8第6题．点到平面的距离求：(1)D到平面ABC的距离；(2)点C到面ADB的距离．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上．例例22【思路分析】(1)证明DA⊥面ABC；(2)VC－ADB＝VD－ABC.【解】(1) A在平面BCD的射影在DC上，∴面ADC⊥面BDC.依条件可知BC⊥DC，又平面ADC⊥平面BCD，且平面ADC∩平面BCD＝CD，∴BC⊥平面ADC. DA⊂平面ADC，∴BC⊥DA.①依条件可知DA⊥AB.②...
