第50讲互斥事件和独立事件的概率及条件概率【学习目标】1．了解互斥事件，相互独立事件和条件概率的意义及其运算公式．2．理解独立重复试验的模型，会计算事件在n次独立重复试验中发生k次的概率．【基础检测】1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A、B、C、D发生的概率分别为0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是()A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件D【解析】由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件，恰好是正品的概率为()A．0.99B．0.98C．0.97D．0.96D【解析】记事件A＝{甲级品}，B＝{乙级品}，C＝{丙级品}．事件A、B、C彼此互斥，且A与B∪C是对立事件．所以P(A)＝1－P(B∪C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为____．13【解析】事件A：“第一次拿到白球”，事件B：“第二次拿到红球”，则P(A)＝210＝15，P(AB)＝210·39＝115，故P(B|A)＝P（AB）P（A）＝13.4．甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是____．1315【解析】方法1：设事件A：甲乙两人中至少有一人抽到选择题．将A分拆为B：“甲选乙判”，C：“甲选乙选”，D：“甲判乙选”三个互斥事件，则P(A)＝P(B)＋P(C)＋P(D)．而P(B)＝C61C41C101C91，P(C)＝C61C51C101C91，P(D)＝C41·C61C101C91，∴P(A)＝2490＋3090＋2490＝7890＝1315.方法2：设事件A：甲乙两人中至少有一人抽到选择题，则其对立事件为A－：甲乙两人均抽判断题．∴P(A－)＝C41C31C101C91＝1290，∴P(A)＝1－1290＝7890＝1315.故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为1315.【知识要点】1．互斥事件与对立事件(1)互斥事件：若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．(2)对立事件：若A∩B为不可能事件，而A∪B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．2．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：．(2)互斥事件的概率加法公式：①P(A∪B)＝＝(A，B互斥)．②P(A1∪A2…∪∪An)＝或P(A1＋A2＋…＋An)＝．(A1，A2，…，An互斥)．③对立事件的概率：＝．0≤P(A)≤1P(A＋B)P(A)＋P(B)P(A1)∪P(A2)…∪∪P(An)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)1－P(A))AP(_3．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为．(2)条件概率具有的性质：①；②如果B和C是两个互斥事件，则．P(B|A)＝P（AB）P（A）0≤P(B|A)≤1P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)4．相互独立事件(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝，P(AB)＝．(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．事件A与事件B相互独立P(B)P(A)P(B)_B_A_B_A_B4．相互独立事件(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝，P(AB)＝．(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．_B_A_A_B5．独立重复试验与二项分布(1)两个相互独立事件A，B同时发生的概率为P(A·B)＝P(A)·P(B)，此公式可推广到n个相互独立事件，则P(A1·A2·…·An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．(2)n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.称随机变量X服从二...
