3．1.2空间向量的数乘运算学习目标1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量的意义．2．理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，会证明空间三点共线与四点共面问题．课堂互动讲练知能优化训练3.1.2空间向量的数乘运算课前自主学案课前自主学案温故夯基1．空间向量加法运算满足________和________．2．以前学过的平面向量中有关向量的数乘运算，所谓平面向量的数乘运算就是：实数λ与平面向量a的乘积λa仍然是一个______，还学过平面中两向量共线的充要条件，其具体内容为：在平面内存在___________，使得____________成立．结合律交换律向量惟一实数λa＝λb(b≠0)知新益能1．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个______，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系λ的范围方向关系模的关系λ>0方向______λa的模是a的模的______λ＝0λa＝0，其方向是任意的λ<0方向_____向量相同相反|λ|倍(3)空间向量的数乘运算律设λ、μ是实数，则有①分配律：λ(a＋b)＝_________.②结合律：________________.推论：如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP→＝OA→＋ta①，其中a叫做直线l的____________，如图所示．若在l上取AB→＝a，则①式可化为____＝________.λa＋λbλ(μa)＝(λμ)a方向向量OP→OA→＋tAB→2．共线向量与共面向量(1)共线向量定义：表示空间向量的有向线段所在的直线__________________，则这些向量叫做__________或平行向量；充要条件：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使______.(2)共面向量定义：平行于_____________的向量叫做共面向量．充要条件：若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y),使___________.互相平行或重合共线向量同一个平面a＝λbp＝xa＋yb2．空间的两非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λ∈R)?提示：不能推出a＝λb.因空间中任意两向量都共面，a，b共面未必有a∥b，则不一定有a＝λb.1．如果OP→＝OA→＋tAB→，你能判定P、A、B共线吗？提示：能判定P、A、B共线．问题探究课堂互动讲练空间向量的数乘运算考点突破空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算没有什么区别，只是将适用范围由平面推广到了空间．运算要正确地使用向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，以及准确使用运算律．例例11【思路点拨】解答本题需准确画图，先利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等，求出x、y的值即可．已知正四棱锥PABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中，x，y的值．(1)OQ→＝PQ→＋xPC→＋yPA→；(2)PA→＝xPO→＋yPQ→＋PD→.【解】如图(1) OQ→＝PQ→－PO→＝PQ→－12(PA→＋PC→)＝PQ→－12PC→－12PA→，∴y＝z＝－12.(2) O为AC的中点，Q为CD的中点，∴PA→＋PC→＝2PO→，PC→＋PD→＝2PQ→，∴PA→＝2PO→－PC→，PC→＝2PQ→－PD→，∴PA→＝2PO→－2PQ→＋PD→，∴x＝2，y＝－2.互动探究本例中的条件不变，若PO→＝xBA→＋yBC→＋zBP→，试求x、y、z的值．解： PO→＝BO→－BP→＝12(BA→＋BC→)－BP→＝12BA→＋12BC→－BP→，∴x＝y＝12，z＝－1.向量共线问题判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体的图形，通过化简、计算得出a＝xb，从而得出a∥b即a与b共线．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E→＝2ED1→，F在对角线A1C上，且A1F→＝23FC→.求证：E，F，B三点共线．例例22【思路点拨】要证E，F，B三点共线，只需证EB→＝mEF→(m∈R)即可．【证明】设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c. A1E→＝2ED1→，A1F→＝23FC→，∴A1E→＝23A1D1→，A1F→＝25A1C→.∴A1E→＝23AD→＝23b，A1F→＝25(AC→－AA1→)＝25(AB→＋AD→－AA1→)＝25a＋25b－25c.∴EF→＝A1F→－A1E→＝25a－415b－25c＝25(a－23b－c)．又EB→＝EA1→＋A1A→＋AB→＝－23b－c＋a＝a－23b－c，∴EF→＝25EB→.所以E，F，B三点共线．证明三个向量共面的...
