高二数学算术平均数与几何平均数二 新课标 人教版 课件VIP免费

2025年2月24日定理1.如果Rba,，那么abba222（当且仅当ba“时取=”）1．指出定理适用范围：Rba,2．强调取“=”的条件：ba一、复习引入：定理2.如果那么ba,是正数，abba2（当且仅当ba“时取=”号）注意：1．这个定理适用的范围：,abR2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。关于“平均数”的概念及性质：如果*12,,,,1naaaRnnN且则：naaan21叫做这n个正数的算术平均数。nnaaa21叫做这n个正数的几何平均数。基本不等式：naaan21≥nnaaa21niRaNni1,,*22222222(1)2(,)(2)(,)2(3)2()?(4)++()?(5)()(,)0?22ababababababababbaabcab+bc+caa,b,cabRRababaRRb基本不等式及其常用变式222,2a,b2ababababa+Rb试证明：如：二、新课讲解：例1.1如果积已知yx,都是正数，求证：xy是定值,P那么当yx时,和yx有最小值2P2如果和yx是定值,S那么当yx时,积xy有最大值214S证：∵Ryx,∴xyyx21当xyP（定值）时，2xyP∵上式当yx时取“=”∴当yx时，xy有最小值2Pyx2P∴注意：1最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）2用极值定理求最值的三个必要条件：一“正”、二“定”、三“相等”2当xyS(定值)时，2Sxy∴214xyS∵上式当yx时取“=”∴当yx时，214xyS有最大值例2.证明：210loglgxx（1）)1(x证：∵1x∴0lgx010logx于是210lglg210loglgxxxxlglog10__2xx（2）(01)x解：∵10x0lgx010logx于是2)10log()lg(xx从而210loglgxx≤例3.若1,x则为何值时x11xx有最小值，最小值为几？解：∵1x∴01x011x∴11xx=112111)1(21111xxxx当且仅当111xx即0x时11xx有最小值1注意：用均值不等式求最值的条件:一正二定三相等用均值不等式求最值的规则:和定积最大,积定和最小例4.已知Ryxba,,,且1ybxa，求yx的最小值解：yxyxbxaybaybxayxyx))((1)(2)(2bayxbxayba当且仅当yxbxay即bayx时2()xyab取最小值思考：已知Ryxba,,,且abxy，求1xy的最小值.11(sin)(cos)sincos例5.设为锐角,求的最小值.练习:22251(1),()44451?219(2),,1,,,1,12xfxxxxxyRxyxybabRaab已知:求函数的最大值.若呢已知:且求的最小值.(3)已知:且求的最大值.课堂小结2222222222221.,2||;;()()().22abababcabbccaabcdacbdababab均值定理的应用范围广泛要关注变量的取值要求和等号能否成立,还要注意它的变式的运用,如:等课堂小结2.(0).3.(0;(0.ayxaxx,y,+),xy=Px=yx+yx,y,+),x+y=Sx=yxy2等号成立的条件不能满足时,可以再从单调性的角度考虑,力图转化为的形式利用极值求最大(小)值时,(1)且(定值),那么当时,有最值2P(2)且(定值),S那么当时,大有最值4小课堂练习：书P11练习3.4作业：书P11习题6.2（3,4,5,6,7）