如东县马塘中学高一年级数学学科暑假作业7月18日姓名学号函数单调性——函数的单调性是函数性质中的重点，高考命题的热点，是高中数学中最活跃的部分一、知识梳理：1、函数单调性定义：如果对于任意的x1、x2∈（a,b)，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）〔或f（x1）＞f（x2）〕，那么就说f（x）在这个区间(a,b)上是增函数（或减函数）,(a,b)叫这个函数的单调递增（或递减）区间，说f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性。2、函数单调性指的是某个区间上的性质，是定义域中的一部分；要说函数是增函数则必须在整个定义域内递增；函数在每个区间上递增也未必是增函数，如正切函数，y=-1/x等；3、复合函数单调性：设y=f（u），u=g（x），x∈［a，b］，u∈［m，n］都是单调函数，则y=f［g（x）］在［a，b］上也是单调函数——同增异减，即（1）若y=f（u）是［m，n］上的增函数，则y=f［g（x）］与u=g（x）的增减性相同；（2）若y=f（u）是［m，n］上的减函数，则y=f［g（x）］的增减性与u=g（x）的增减性相反.4、判断函数单调性的方法：①定义法，即比较法；②图象法；③复合函数单调性判断法则；5、实际上，用导数求解或判断一般函数单调性是很便捷的方法，定义法是基本方法，常用来判定抽象函数或不易求导的函数的单调性。6、一些常用的结论：①奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③单调函数必有反函数，且单调性一致；④在公共定义域内:增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数⑤函数是奇函数，在和上递增；在和上是递减，进而可确定型函数的的单调区间。二、自我检测1、若y=log(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是4、当0
1时，增减复合递减，但必须在[0，1]上2-ax>0,只须2-a>0,故10且b≤0时,在[0,+∞]上为增函数；8.证明函数y=x+，（a>0)的单调区间上的单调性.解：定义域：{x|x≠0}，任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）=x2+－x1－=（x2－x1）+=（x2－x1）（1－），（要确定此式的正负只要确定1－的正负即可.将（0，+∞）分为（0，]与[，+∞）（这是本题的关键）（1）当x1、x2∈（0，]时，1－＜0，∴f（x2）－f（x1）＜0，为减函数.（2）当x1、x2∈[，+∞）时，1－＞0，∴f（x2）－f（x1）＞0，为增函数.2由于f(x)是奇函数，所以在[－，0）上递减；在（－∞，－]上递增.9．已知若试确定的单调区间和单调性解：设则当递增，，增函数；当递增，为增函数；当递减，为减函数；当递增，为增函数；方法提炼：按复合函数“同增异减”确定单调性，比较繁琐。10．是R上的偶函数，在（-∞.0]上递增，解不等式（1）（2）解：（1）在（-∞.0]上递增，是偶函数，则在[0，+∞)上递减，∴原式（2）原式三.小结与反思:1、函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的，讨论函数的单调性必须在某区间内进行.2、单调性定义中的x1、x2必须是：同一区间上；任意两个值；x1＜x2，三者缺一不可.3.解函数单调性的问题时，通常有定义法、图象法、复合函数判断法，导数法，应注意合理选择。3
