高考数学 第六章第七节 数学归纳法课件 新人教A版 课件VIP免费

1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1)”，在验证n＝1时，左端计算所得的项为()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3解析： 等式的左端为1＋a＋a2＋…＋an＋1，∴当n＝1时，左端＝1＋a＋a2.答案：C2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C.k＋14＋k＋122D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2解析：当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.答案：D3．如果命题P(n)对n＝k成立，那么其对n＝k＋1也成立．现已知P(n)对n＝4不成立，则下列结论正确的是()A．P(n)对n∈N*成立B．P(n)对n>4且n∈N*成立C．P(n)对n<4且n∈N*成立D．P(n)对n≤4且n∈N*不成立解析： 如果命题P(n)对n＝k成立，那么其对n＝k＋1也成立．又P(n)对n＝4不成立，∴当n<4时，P(n)也不成立．答案：D4．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，第一步应验证左式是__________，右式是________．解析：令n＝1则左式为1－12＝12，右式为12.答案：12125．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)时，从“n＝k到n＝k＋1”，左边需增乘的代数式是________．解析：当n＝k时，左＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，当n＝k＋1时，左＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋(k＋1)]∴从“n＝k到n＝k＋1”，左边需增乘的代数式是2k＋12k＋2k＋1，即2(2k＋1)．答案：2(2k＋1)数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤：(1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．n＝k＋1第一个值n0(n0∈N*)用数学归纳法证明n∈N*时，11×3＋13×5＋…＋12n－12n＋1＝n2n＋1.考点一用数学归纳法证明等式[自主解答]①当n＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13.左边＝右边，所以等式成立．②假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＝k2k＋1.则当n＝k＋1时，11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＋12k＋12k＋3＝k2k＋1＋12k＋12k＋3＝k2k＋3＋12k＋12k＋3＝2k2＋3k＋12k＋12k＋3＝2k＋1k＋12k＋12k＋3＝k＋12k＋3＝k＋12k＋1＋1.所以当n＝k＋1时，等式也成立．由①②知，对一切n∈N*等式都成立．对于n∈N*，用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝16n(n＋1)(n＋2)．证明：设f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1.(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立；(2)假设当n＝k时等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝16k(k＋1)(k＋2)，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－2]·3＋[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＝16k(k＋1)(k＋2)＋12(k＋1)(k＋1＋1)＝16(k＋1)(k＋2)(k＋3)．∴n＝k＋1时等式也成立．∴由(1)(2)可知，当n∈N*时等式都成立．用数学归纳法证明：1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)．考点二用数学归纳法证明不等式[自主解答](1)当n＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，∴32≤1＋12≤32，即命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k≤12＋k，则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k>1＋k2＋2k·12k＋1＝1＋k＋12.又1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k<12＋k＋2k·12k＝12＋(k＋1)，即n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．用数学归纳法证明不等式：1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈N*)．证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2.所以，左边<右边，不等式成立．②假设n＝k时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k<2k.那么当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1<2k＋1k＋1＝2kk＋1＋1k＋1