第五节空间几何体的表面积与体积考纲点击了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).热点提示1.通过考查几何体的表面积和体积，借以考查空间想象能力和计算能力.2.多与三视图、简单组合体相联系.3.以选择、填空的形式考查，属容易题.1．旋转体的表面积名称图形表面积圆柱S＝2πr(r＋l)圆锥S＝πr(r＋l)圆台S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)球S＝4πR22.几何体的体积公式(1)设棱(圆)柱的底面积为S，高为h，则体积V＝Sh.(2)设棱(圆)锥的底面积为S，高为h，则体积V＝13Sh.(3)设棱(圆)台的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则体积V＝13(S′＋S′S＋S)h.(4)设球半径为R，则球的体积V＝43πR3.1．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于43π，则该圆锥的体积为()A.2281πB.881πC.4581πD.1081π【解析】设圆锥的底面半径为r，则2πr1＝43π，∴r＝23，∴圆锥的高h＝1－(23)2＝53.∴圆锥的体积V＝13πr2h＝4581π.【答案】C2．正方体的表面积为a2，它的顶点均在一个球面上，这个球的表面积为()A.π3a2B.π2a2C．2πa2D．3πa2【解析】由题意，球的直径2R等于正方体的体对角线长，设正方体的棱长为x，则6x2＝a2，∴x＝16a＝66a，∴正方体的体对角线长为3x＝22a，即2R＝22a，∴R＝24a.球的表面积S＝4πR2＝π2a2.【答案】B3．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为()A.a36B.a312C.312a3D.212a3【解析】 BD＝DA＝DC＝a，又△ABC为直角三角形，∴三棱锥的高即为△ADC中AC边上的高22a，∴三棱锥的体积为13×12a2×22a＝212a3.【答案】D4．一个几何体的三视图如图，则这个几何体的体积为________．【解析】由三视图可得该几何体的直观图．∴该几何体是一个底面为直角三角形且两直角边分别为1cm，2cm，高为2cm的三棱柱．∴该几何体的体积为×1×2×2＝2(cm3)．【答案】2cm35．将一棱长为6cm的正方体木块加工成一个体积最大的木球，这个球的体积为________．【解析】由题意可知该球是正方体的内切球，球直径与正方体的棱长相等，∴球半径r＝3cm，∴球体积为＝36πcm3.【答案】36πcm3(2008年山东高考改编)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．【自主探究】由三视图可知，该几何体是由一个球和圆柱组合而成的几何体，球的直径为2，圆柱的底面直径为2，高为3，则S球＝4πR2＝4π，S圆柱＝2πrh＋2πr2＝2π×1×3＋2π＝8π，∴几何体的表面积为S＝4π＋8π＝12π.【答案】12π【方法点评】1.高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中，借以考查空间想象能力和运算能力，只要正确把握几何体的结构，准确应用面积公式，就可以顺利解决．2．多面体的表面积是各个面的面积之和．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．3．组合体的表面积应注意重合部分的处理．1．已知圆台的母线长为4cm，母线与轴的夹角为30°，上底面半径是下底面半径的，求这个圆台的侧面积．【解析】如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面，由题意知AC=4cm，∠ASO=30°，O1C=，设O1C=r，则OA=2r，∴SC=2r，SA=4r，∴AC=SA-SC=2r=4cm，∴r=2cm.所以圆台的侧面积为S=π(r+2r)×4=24π(cm2)．如图，在三角形ABC中，若AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．【思路点拨】先通过想象确定旋转体的形状，再求几何体的表面积和体积．【自主探究】如图，所得旋转体是两个底面重合的圆锥．高的和为AB=5，底面半径等于CO=∴所得旋转体的表面积为【方法点评】求解旋转体的表面积和体积时，首先要弄清楚它的结构，再通过轴截面分析和解决问题．2.如右图所示，扇形中心角为90°，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得的旋转体体积V1和V2之比为()A．1∶1B．1∶C．1∶2D．1∶【解析】Rt△AOB绕OA旋转一周形成圆锥，其体积V1＝πR3，扇形绕OA旋转一周形成半球，其体积V＝πR3，∴V2＝V－V1＝πR3－πR3＝πR3，∴V1∶V2＝1∶1.有一根长为3πcm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一...
