省丹中数学选修４－２2025-02-25课时13特征值与特征向量【教学目标】1．掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。2．会求二阶矩阵的特征值与特征向量。3．利用矩阵的特征值、特征向量给出的简单表示。【教学过程】一．问题情境考察点(1,0)，(0,1)对应的向量，，有，。所以，变换后，向量没有改变，向量方向没有改变，而长度变为原来的一半，因此，向量，变换后与各自的原象共线。二．数学情境1．设是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得，那么称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量。2．设是一个二阶矩阵，，我们把行列式称为的特征多项式。3．求特征值、特征向量方法：(1)令特征多项式，求(2)把代入解方程组，得到一组非零解，即为的一个特征向量。4．从几何角度看，特征向量就是经过矩阵的变换作用之后仍与原来向量共线的向量，而矩阵表示的是作关于轴反射的反射变换。5．一个特征值对应多个特征向量。显然，只要有了特征值的一个特征向量就可以表示所有属于这个特征值的共线的所有特征向量了。6．利用矩阵的特征值，特征向量，求。三．例题讲解例1求出矩阵的特征值和特征向量。1省丹中数学选修４－２2025-02-25探究：求的特征向量？从几何变换角度加以解释。例2已知，，试计算。例3矩阵有属于特征值的一个特征向量，及属于特征值的一个特征向量。(1)对向量，记做，利用这一表达式计算；(2)对向量，计算。例4说明矩阵没有实数特征值与特征向量，并给出几何解释。例5设，，求的特征值与特征向量。2省丹中数学选修４－２2025-02-25例6给定矩阵及向量。(1)求的特征值(其中)；(2)求属于的特征向量及属于的特征向量；(3)确定实数，使向量可以表示为；(4)利用(3)中表达式，间接计算；(5)观察并分析(4)中的结果，是否发现，随着的不断增大，对结果的影响越来越小，若忽略对结果的影响，则得到一个计算的近似公式，写出这一近似公式，并计算。课堂练习1．向量在矩阵变换下()A.改变了方向，长度不变B.改变了长度，方向不变C.方向和长度都不变D.以上都不对2．下列对于矩阵的特征值的描述正确的是()A.存在向量，使得B.对任意向量，有C.对任意非零向量，成立D.存在一个非零向量，有3．设，矩阵的特征值为()A.B.C.D.4．设，矩阵的特征向量可以是()A.B.C.D.5．矩阵的特征值是___________，对应的特征向量是___________。6．求下列矩阵的特征值和特征向量：3省丹中数学选修４－２2025-02-25(1)；(2)。7．求矩阵的特征值与特征向量；若向量，求。8．已知矩阵有属于特征值的特征向量，及属于特征值的特征向量。(1)对向量，记作，利用这一表达式计算；(2)对向量，求。作业课本P721~3。4
