第26讲三角函数模型及应用【学习目标】能够运用正、余弦定理等知识解决一些测量距离问题、高度问题、角度问题、面积问题、方向问题等．【基础检测】1．在地面上一点A测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为()A．237mB．227mC．247mD．257mA【解析】如右图，设CD＝x，则BC＝2x，BD＝AD＝3x，∴AC＝(3－1)x＝100，∴x＝1003－1＝50(3＋1)，∴BD＝3x＝3×50(3＋1)＝50(3＋3)≈237(m)．2．如右图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.3akmC.2akmD．2akmB【解析】∠A＝∠B＝30°，故AB＝2AC·cosA＝3a(km)．3．在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是__________千米．6【解析】∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin∠CBA，即2sin45°＝ACsin60°，解得AC＝6.4．如右图，在细绳O处用水平力F2，缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与竖直方向的夹角为θ.绳子所受到的拉力为F1.(1)则|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况为________；(2)当|F1|≤2|G|时，则θ角的取值范围为________．当θ从0°趋向于90°时，|F1|、|F2|皆逐渐增大0，π3【解析】如右图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知G′＝－G＝F1＋F2，解直角三角形，得|F1|＝|G|cosθ，|F2|＝|G|·tanθ.当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|皆逐渐增大．(2)令|F1|＝|G|cosθ≤2|G|，得cosθ≥12，又 0°≤θ＜90°，∴0°≤θ≤60°.【知识要点】1．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_________的角叫仰角，在水平线___________的角叫俯角．上下(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向的水平角，如B点的方位角为α.(3)方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，北偏东60°等．(4)坡度坡面与水平面所成的二面角的度数．2．解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题，近似计算的要求等．一、方位测绘应用问题例1如图所示，某观测站C位于城A的南偏西20°的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿着公路向A城走去，走了20千米后，到达了D处，此时C，D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？【解析】根据题意得，BC＝31千米，BD＝20千米，CD＝21千米，∠CAB＝60°.设∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CDB中，由余弦定理得cosβ＝CD2＋BD2－BC22·CD·BD＝212＋202－3122×21×20＝－17，sinβ＝1－cos2β＝437.sinα＝sin(180°－∠CAD－∠CDA)＝sin(180°－60°－180°＋β)＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－cosβsin60°＝437×12＋17×32＝5314.在△ACD中，由正弦定理得AD＝CDsinA·sinα＝21sin60°·5314＝2132×5314＝15.故此人还得走15千米到达A城．【点评】首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与未知，再根据题意画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化为数学问题，建立数学模型(三角函数模型)．二、立体测绘应用问题例2南海的某海岛A上有一座山，山顶设有一个观察站P，P点与海平面．．．的距离为1千米，某日上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°，俯角为30°的B处，相隔10分钟后又测得该船在岛的北偏西60°、俯角为60°的C处．(岛的高度不计，该船沿直线航行)(1)求BC的长度；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？【解析】(1)如图所示，在Rt△PAB中，∠APB＝60°，PA＝1，则AB＝3.在Rt△PAC中，∠APC＝30°，则AC＝33.在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，则BC＝AC2＋AB2＝332＋（3）2＝303.(2)...
