§6.7数学归纳法考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§6.7数学归纳法双基研习•面对高考1．数学归纳法数学归纳法是用来证明关于_________命题的一种方法，若n0是起始值，则n0是_______________________________．2．用数学归纳法证明命题的步骤(1)当n＝______时，验证命题成立．双基研习•面对高考基础梳理基础梳理正整数使命题成立的最小的正整数n0(2)假设当n＝k(k≥n0且k∈N＋)时命题成立，推证n＝_______时命题也成立，从而推出命题对于所有的_______________________成立，其中第一步是_________，第二步是__________，二者缺一不可．思考感悟数学归纳法的第一步是验证，那么对于任何命题都是验证n＝1时命题成立吗？提示：不一定，要看题目中n的要求，如证当n≥3时命题成立，则第一步应验证n＝3时命题成立．k＋1从n0开始的所有正整数n归纳奠基归纳递推课前热身课前热身1．(教材习题改编)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋1＝2n＋2－1(n∈N＋)的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为()A．1B．1＋2C．1＋2＋22D．1＋2＋22＋23答案：C2．用数学归纳法证明1＋3＋32＋…＋3n＋2＝1－3n＋31－3，在验证n＝1命题成立时，左端项为()A．1B．1＋3C．1＋3＋32D．1＋3＋32＋33答案：D3．(2011年九江质检)用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为()A．2k＋1B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋1答案：B4．在数列{an}中，a1＝13且Sn＝n(2n－1)an，通过计算a2，a3，a4猜想an的表达式是________．答案：an＝12n－12n＋15．(2011年黄山模拟)已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．答案：(5,7)考点探究•挑战高考考点突破考点突破用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题是数学归纳法应用的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．同时，由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用归纳假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．例例11(2011年南昌模拟)证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.【思路点拨】本题是一个与正整数n有关的命题，直接证明有困难，可考虑用数学归纳法．【证明】(1)当n＝1时，等式的左边＝1－12＝12；右边＝12.所以当n＝1时，命题成立．(2)假设当n＝k时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，则当n＝k＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2.故当n＝k＋1时，命题也成立．综上可知，等式对于任意的n∈N＋都成立．【名师点评】用数学归纳法证明恒等式的关键是在证明n＝k＋1时命题成立，从n＝k＋1的待证的目标恒等式(或不等式)的一端“拼凑”出归纳假设的恒等式(或不等式)的另一端，再运用归纳假设即可．同时，还要注意待证的目标恒等式(或不等式)的另一端的变化(即用“k＋1”代替恒等式或不等式中的所有的“n”)用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立得n＝k＋1成立，主要方法有：①放缩法；②利用基本不等式法；③作差比较法；④综合法；⑤分析法等．例例22用数学归纳法证明1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N＋)．【思路点拨】本题考查利用数学归纳法证明与正整数有关的不等式．合理运用归纳假设后，向目标靠拢的过程中，可以利用证明不等式的一切方法去证明．【证明】(1)当n＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，∴32≤1＋12≤32，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时命题成立，即1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k≤12＋k，则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k＞1＋k2＋2k·12k＋1＝1＋k＋12.又1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k＜12＋k＋2k·12k＝12＋(k＋1)，即n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对所有n∈N...
