第4课时函数的奇偶性与周期性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数关于对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是奇函数关于对称1．函数的奇偶性f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．f(x)存在一个最小1．对任意实数x，下列函数中的奇函数是()A．y＝2x－3B．y＝－3x2C．y＝ln5xD．y＝－|x|cosx解析：若f(x)＝ln5x，则f(－x)＝ln5－x＝ln(5x)－1＝－ln5x＝－f(x)．∴函数y＝ln5x为奇函数．答案：C解析：答案：B3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2011)＝()A．－2B．2C．－98D．98解析：由f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2011)＝f(502×4＋3)＝f(3)＝f(－1)，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.答案：A答案：坐标原点5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________.答案：－11．用定义判断(或证明)函数的奇偶性的一般步骤：(1)验证定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则为非奇非偶函数．(2)证明f(－x)＝±f(x)是否成立．若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．解析：(1)此函数的定义域为R. f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数．(2)此函数的定义域为x＞0，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．解析：(1)由于f(－1)＝2，f(1)＝0，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．1“．对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将f”脱掉，转化为我们会求的不等式；2．奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性．解析：[变式训练]2.(1)奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解是________．(2)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(∞－，0]上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是________．解析：(1)由奇函数图象对称性质补出其在[－5,0)上的图象，由图象知解集为(－2,0)∪(2,5]．(2)由已知f(x)在[0∞，＋)上为增函数，且f(a)＝f(|a|)，∴f(a)≥f(2)f(|a|)≥f(2)，∴|a|≥2得a≥2或a≤－2.答案：(1)(－2,0)∪(2,5](2)a≤－2或a≥2递推法：若f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴周期T＝4.换元法：若f(x＋2)＝f(x－2)，令x＋2＝t，x＝t－2，∴f(t)＝f(t－4)，∴周期T＝4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．解析：(1)证明： f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数．∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0.[变式训练]3.已知函数f(x)是(∞∞－，＋)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且...
