圆内接正多边形VIP专享VIP免费

数学新课标（北师）九年级下册3.8圆内接正多边形探究新知探究新知新知梳理新知梳理重难互动探究重难互动探究探究新知►活动1知识准备3.8圆内接正多边形1．已知等边三角形ABC外接圆的半径为2，则等边三角形的边长为_________．2．正三角形的内切圆与外接圆的半径之比为_________，周长之比为________，面积之比为________．1∶2231∶21∶4►活动2教材导学3.8圆内接正多边形阅读教材例题，并填空：如图3－8－1，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为G，求正六边形的中心角、边长和边心距．图3－8－13.8圆内接正多边形解：连接OC，OD.∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠COD＝________＝____________．∴△COD为_______三角形．∴CD＝OC＝____．在Rt△COG中，OC＝4，CG＝2，∴OG＝_______．∴正六边形ABCDEF的中心角为______，边长为____，边心距为_______．360°660°等边42360°423新知梳理►知识点一圆内接正多边形顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆．3.8圆内接正多边形3.8圆内接正多边形►知识点二圆内接正多边形的有关概念(1)中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．[提示]若正多边形的边数给定，已知它的半径、边长、边心距、周长、面积中的一个量，可求出其余量．3.8圆内接正多边形►知识点三正多边形的画法正n边形的画法：基本上是利用等分圆周法画圆的内接正n边形，先将一个圆n等分，再顺次连接各分点．(1)用量角器等分圆周先计算正n边形的中心角360°n，把以圆心O为顶点的周角360°分成n个360°n的角，确定圆周的n等分点，然后依次连接各等分点．3.8圆内接正多边形(2)用尺规作图法等分圆周①可在⊙O上作两条互相垂直的直径得正四边形，再逐次平分每条弧可得正八边形、正十六边形、正三十二边形……②可作半径为R的⊙O，在⊙O上依次截取长度等于R的弦，可得正六边形，再可得正十二边形、正二十四边形……[注意]用量角器等分圆周的方法可以作任意正多边形；用尺规作图法只能画一些特殊的正n边形，即正2n边形或3×2n边形．重难互动探究探究问题一圆内接正多边形的有关计算3.8圆内接正多边形例1如图3－8－2，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积(结果保留到小数点后一位)．图3－8－23.8圆内接正多边形利用勾股定理，可得边心距r＝42－22＝23(m)．亭子地基的面积S＝12lr＝12×24×23≈41.6(m2)．3.8圆内接正多边形[归纳总结]在解决正多边形的有关计算时，一般都是通过作半径、边心距和边所构成的直角三角形来计算．如图3－8－3，正n边形A1A2A3…An，其半径为R，边心距为rn，边长为an，中心角为αn，中心角的一半为θ，内角为∠An，周长为Pn，面积为Sn，则有下列计算公式：图3－8－33.8圆内接正多边形(1)∠An＝（n－2）·180°n；(2)αn＝360°n；(3)θ＝180°n；(4)R2＝r2n＋14a2n；(5)Pn＝n·an；(6)Sn＝12nanrn＝12Pnrn.3.8圆内接正多边形探究问题二正多边形的证明例2如图3－8－4所示，△AOB是正三角形，以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，直径FC∥AB，AO，BO的延长线交⊙O于点D，E.求证：六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．图3－8－43.8圆内接正多边形[解析]欲证六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，只要证明AB︵＝BC︵＝CD︵＝DE︵＝EF︵＝FA︵，由于△ABO是正三角形，从而∠AOB＝60°，故只要证明∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°即可．证明：∵△AOB是正三角形，∴∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，∴OB＝OA.∴点B在⊙O上．∵FC∥AB，∴∠FOA＝∠OAB＝60°，∠COB＝∠OBA＝60°.3.8圆内接正多边形∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°.∴AB︵＝BC︵＝CD︵＝DE︵＝EF︵＝FA︵，∴六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．3.8圆内接正多边形[归纳总结]证明一个多边形是圆的内接正多边形的常用方法是证明这个多边形的所有顶点等分这个圆．