课时11逆矩阵的概念【教学目标】1．通过具体的图形变换，理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件；2．会证明逆矩阵存在的惟一性，知道。3．会从几何变换的角度求出的逆矩阵。4．会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去律。【教学过程】一．问题情境我们已经知道，二阶矩阵对应着平面上的一个几何变换，它把点变换到点。反过来，如果已知变换后的结果，能不能“找到回家的路(逆变换)”，让它变回到原来的呢？思考：由于每个矩阵对应着一个几何变换，这两次连续的变换却又对应着两个矩阵的乘积，于是，上面的问题就变成了已经知道了矩阵，我们能否找到一个矩阵，使得连续进行的两次变化的结果与恒等变换的结果相同？二．数学建模1．对于一个变换，若存在变换，使得继续进行这两次变换后的结果与恒等变换相同，我们称为原变换的逆变换，逆变换也对应着一个矩阵。并非对所有的二阶矩阵，都存在二阶矩阵，使得。2．对于二阶矩阵，，若有，则称是可逆的，称为的逆矩阵。逆矩阵是唯一的，通常记的逆矩阵为，。3．对于任意的二阶矩阵，满足什么条件时，它是可逆的？如果可逆，如何求出逆矩阵？思考：当一个矩阵表示平面上向量到向量的一一映射时是可逆的，逆矩阵就是对原先变换实施逆变换对应的矩阵，特殊地，零矩阵不存在逆矩阵。4．一般地，对于二阶可逆矩阵，它的逆矩阵为。若二阶矩阵，均存在逆矩阵，则也存在逆矩阵，且。5．对于二阶矩阵，什么条件下，矩阵乘法满足消去律？已知为二阶矩阵，且，若矩阵存在逆矩阵，那么成立吗？三．例题讲解例1对于下列给出的变换矩阵，是否存在变换矩阵，使得连续进行两次变换(先后)的结果与恒等变换的结果相同？(1)以轴为反射轴做反射变换；(2)绕原点逆时针旋转作旋转变换；(3)横坐标不变，沿轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换；(4)沿轴方向，向轴作投影变换；(5)纵坐标不变，横坐标依纵坐标的比例，且的切变变换。例2用几何变化的观点判断下列矩阵是否存在逆变换，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由。(1)(2)(3)(4)例3求矩阵的逆矩阵。例4试从几何变换角度求解矩阵的逆矩阵。课堂练习1．从几何角度考虑下列矩阵表示的变换是否存在逆变换，如果存在，试给出其逆矩阵：(1)；(2)；(3)；(4)2．试从代数和几何角度分别求乘积矩阵的逆矩阵。3．设，讨论可逆的条件；当可逆时，求出。作业书P631~3
