第 7 讲 立体几何中的向量方法（一）一、选择题1．直线 l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( )A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)解析 两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项 B 中的两个向量垂直．答案 B2．已知 a＝，b＝满足 a∥b，则 λ 等于( )．A. B. C．－ D．－解析 由＝＝，可知 λ＝.答案 B3．平面 α 经过三点 A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面 α的法向量不垂直的是 ( )．A. B．(6，－2，－2)C．(4,2,2) D．(－1,1,4)解析 设平面 α 的法向量为 n，则 n⊥AB，n⊥AC，n⊥BC，所有与AB(或AC、BC)平行的向量或可用AB与AC线性表示的向量都与 n 垂直，故选 D.答案 D4．已知正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E 为 CC1的中点，则直线 AC1与平面 BED 的距离为 ( )．A．2 B. C. D．1解析 连接 AC，交 BD 于点 O，连接 EO，过点 O 作OH⊥AC1于点 H，因为 AB＝2，所以 AC＝2，又 CC1＝2，所以 OH＝sin 45°＝1.答案 D5．已知 a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5， λ)，若 a，b，c 三向量共面，则实数 λ 等于( )．A. B. C. D.解析 由题意得 c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，∴∴.答案 D6．正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 a，点 M 在 AC1上且AM＝MC1，N 为 B1B的中点，则|MN|为 ( )．A.a B.a C.a D.a解析 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N. 设 M(x，y，z)， 点 M 在 AC1上且AM＝MC1，∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)∴x＝a，y＝，z＝.得 M，∴|MN|＝ ＝a.答案 A二、填空题7．若向量 a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为，则 λ＝________.解析 由已知得＝＝，∴8＝3(6－λ)，解得 λ＝－2 或 λ＝.答案 －2 或8．在四面体 PABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，设 PA＝PB＝PC＝a，则点 P 到平面 ABC 的距离为________．解析 根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P－xyz，则P(0,0,0)，A(a，0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)．过点 P作 PH⊥平面 ABC，交平面 ABC 于点 H，则 PH 的长即为点 P 到平面 ABC 的距离． PA＝PB＝PC，∴H 为△ABC 的外心．又 △ABC 为正三...
