重要不等式 1 如果 a 、 b∈R, 那么 a +b ≥2ab²² ( 当且仅当 a=b 时取“ =” 号 )重要不等式 2 如果 a 、 b 、 c >0, 那么 a +b +c ³³³ ≥3abc ( 当且仅当 a=b=c 时取“ =” 号 )定理 1 如果 a 、 b >0, 那么 (a+b)/2 ≥ ( 当且仅当 a=b 时取“ =” 号 )ab定理 1 的推论 ： 如果 a 、 b 、 c >0, 那么 (a+b+c)/3 ≥ ( 当且仅当 a=b=c 时取“ =” 号 )3 abc已知 x,y 都为正数，（ 1 ）如果积 xy 为定值 P ，那么当 x=y 时，和 x+y 有最小值2 P（ 2 ）若 x+y 为定值 S ，那么当 x=y 时，积 xy 有最大值214 S这个结论反映在利用均值不等式求最值时，要注意以下三个条件（ 1 ）函数式中各项必须都是正数（ 2 ）函数式中含变量的各项的和或积必须是常数（ 3 ）等号成立的条件必须存在一正、二定、三相等例 1 、（ 1 ）求函数 的最小值并求相应的x 的值 1(0)1yxxx（ 2 ）求函数 的最小值并求相应的x 的值(5)(2)(1)1xxyxx （ 3 ）求函数 的最大值1(12 )(0)2yxxx 析：求函数的最值，可考虑利用和，积不等式，关键在于对函数式结构的调整，使得函数的结构为和的形式（或积的形式），并且相应的和（或积）为定值 说明：此题通过恰当的恒等变形－－－分拆变量，使之满足定理条件，把问题转化为定积条件下的两个变量和的问题例例 22 、若、若 x>0,y>0,x>0,y>0, 且且 x+y=2,x+y=2, 求求 xx22+y+y22 的最小值的最小值例 3 、（ 1 ）某种汽车购买时的费用是 10 万元，每年的保险费、养路 费、汽车油 费合计为 9 千元，汽车的维修费平均为第一年 2 千元，第二年为 4 千元，第三年为 6 千元……依等差数列逐年递增，问这种汽车使用多少年报废最合算（即年平均费用最少）（ 2 ）设计一幅宣传画，要求画面面积为 4840cm2 ，画面的宽与高的 比为 ，画面的上下各留 8cm 的空白，左右各留 5cm 的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小 . (1) 在应用均值不等式解决实际问题时应注意：（ 1 ）设变量 . 一般把要求最大值或最小值的变量设为函数（ 2 ）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题（ 3 ）在定义域内，求函数的最大值或最小值练习：111.lglg2,xyxy已知求的最小值2.(0)1x 2x求y=的最值x23.225(05)yxxx求的最值
