第 三 节函数的单调性与最值 重点难点 重点：①函数单调性的定义． ②函数的最大(小)值． 难点：①函数单调性的证明． ②求复合函数单调区间． 知识归纳 一、单调性定义 1．单调性定义：设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆ I，若对于任意的 x1，x2∈D，当 x1f(x2)，则 f(x)为区间 D 上的减函数． 2．证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数证明． (1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取 x1、x2∈D，且 x10，则 f(x)在区间 D 内为增函数；如果 f ′(x)<0，则 f(x)在区间 D 内为减函数． 二、单调性的有关结论 1．若 f(x)，g(x)均为增(减)函数，则 f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 2．若 f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有 f(x)>0，则 1fx为减(增)函数， fx为增(减)函数． 3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相同，则其复合函数 f[g(x)]为增函数；若 f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数 f[g(x)]为减函数． 5．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 三、函数单调性的应用有： (1)比较函数值或自变量值的大小． (2)求某些函数的值域或最值． (3)解证不等式． (4)作函数图象． 四、函数的最大(小)值： 1．定义：一般地，设函数 y＝f(x)定义域为Ⅰ，如果存在实数 M 满足： (1)对任意 x∈Ⅰ，都有 f(x)≤M(或 f(x)≥M)； (2)存在 x0∈Ⅰ，使得 f(x0)＝M. 称 M 是函数 y＝f(x)的最大(或最小)值． 2．求法： (1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法，(4)换元法，(5)数形结合法，(6)单调性法，(7)导数法． 误区警示 1．对于函数单调性定义的理解，要注意以下三点 (1)函数的单调性是对某一个区间而言的．f(x)在区间A 与 B 上都是增(或减)函数，在 A∪B 上不一定单调． (2)单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的 x1，x2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替． 2．在研究函数的单调性时，应先确...
